ДИЕЗНАЯ ФОРМА

- r-мерная "дифференциальная форма" со в открытом подмножестве такая, что конечны комасса |w|₀ икомассовая константа Липшица

где р,и |р-q|- длина вектора р-q. Диезной нормой формы w наз. число

Теорема Уитни. Каждой r-мерной диезной коцепи Xв Rсоответствует единственная r-мерная Д. ф. s_X, для которой для всех r-мерных ориентированных симплексов s^r;.s_X (р). определяется формулой

где s₁, s₂, . ..- последовательность расположенных в одной и той же плоскости симплексов, содержащих точку р, диаметры к-рых Это соответствие является взаимно однозначным линейным отображением пространства коцепей в пространство Д. ф., причем: , т. е. комассе X;

т. е. константе Липшица X;

т. е. диезной норме X;

является банаховым пространством.

В частности, нульмерным диезным коцепям соответствуют диезные функции - ограниченные функции, удовлетворяющие условию Липшица.

Пространство r-мерных диезных цепей Аконечной массы |А| с диезной нормой изоморфно пространству аддитивных функций множества, значениями к-рых являются r-векторы g, наделенному диезной нормой это соответствие определяется формулой:

для любой коцепи X, где w_X есть r-мерная Д. ф., соответствующая коцепи X, и имеет место: g_A( Е ^п)= {А}, т. е. ковектору цепи А, |А| = |уА|, т. е. полной вариации g _А,

т. е. диезной норме цепи А.

Таким образом, (*) является обобщением обычного интеграла Лебега - Стилтьеса. В частности, для Атогда и только тогда существует измеримая по Лебегу суммируемая функция a(р), ассоциированная с А(см. "Бемольная форма"), то есть

для любой коцепи X, если g_A абсолютно непрерывна. Если w_X- регулярная форма, X- диезная коцепь, то существует форма w_dX=dw_X имеет место формула Стокса

Аналогично обобщаются и другие результаты, установленные для регулярных форм.

Лит. см. при статье Бемольная форма.

М. И. Войцеховский.