ГОЛОМОРФНАЯ ФОРМА

степени рна комплексном многообразии М - дифференциальная форма типа , удовлетворяющая условию , т. е. форма, к-рая в локальных координатах на Мзаписывается в виде

где - голоморфные функции. Г. ф. степени робразуют векторное пространство (М). над полем ; - это пространство голоморфных функций на М.

На компактном кэлеровом многообразии М пространство совпадает с пространством гармонических форм типа ( р,0), откуда следует, что есть первое число Бетти многообразия [1]. Г. ф. на римановой поверхности Мназ. также дифференциалами первого рода; если поверхность Мкомпактна, то равна ее роду.

Пространства образуют локально точный комплекс относительно оператора d, наз. голоморф н. М - многообразие Штейна (см. "Штейна пространство"), то когомологии этого комплекса, изоморфны комплексным когомологням и

Аналогично определяются Г. ф. со значениями в нек-ром векторном аналитическом расслоении Е над М(голоморфные 0-формы здесь - голоморфные сечения расслоения). Ростки Г. ф. степени рсо значениями в Еобразуют локально свободный аналитич. учок . Комплекс Дольбо форм типа , со значениями в Еесть тонкая резольвента этого пучка, откуда

(теорема Дольбо - Серра [1], [4]).

Определение Г. ф. можно распространить также на комплексные аналитич. ространства. Достаточно сделать это для локальных моделей, т. е. в случае, когда пространство Xявляется аналитич. одпространством в области . Пучок ростков голоморфных р-форм на Копределяется как где - пучок ростков голоморфных р-форм в G, а состоит из ростков форм вида

где - пучок идеалов, задающий X. Определяется также голоморфный комплекс де Рама пространства X, к-рый, однако, не является локально точным. Для того чтобы этот комплекс был локально точен в точке , начиная с k-й степени, достаточно, чтобы Xв окрестности точки хдопускало голоморфное стягивание на локальное аналитич. множество , для к-рого (см. [3]).

Лит.:[1] Чшэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ.,М., 1961; [2] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [3] Rеiffen H.-J., "Math Z.", 1967, Bd 101, H. 4, S. 269-84; [4] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М.. 1976. А. Л. Онищик.