ВЫПУКЛАЯ МЕТРИКА

- внутренняя метрика на двумерном многообразии М, удовлетворяющая нек-рому условию выпуклости. Точнее, пусть lи m две кратчайшие, исходящие из нек-рой точки , Xи Y - точки на них, х, у - расстояние от Одо X, Y, z - расстояние между - угол в плоском треугольнике со сторонами, равными х, у, z, лежащий против стороны, равной z. Условие выпуклости метрики (в точке О).состоит в том, что является невозрастающей функцией (т. е. при ) на всякой паре промежутков такой, что точки Xи Y, соответствующие любым двум значением из этих промежутков, можно соединить кратчайшей. Внутренняя метрика является В. м. тогда и только тогда, когда она есть метрика неотрицательной кривизны. Метрика выпуклой поверхности является В. м. Обратно, любое двумерное многообразие с В. м. реализуется в виде выпуклой поверхности (теорема А. Д. Александрова).

Лит.:[1] Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948.

М. И. Войцеховский.