ВИНОГРАДОВА ОЦЕНКИ

название нескольких теорем И. М. Виноградова. Наиболее известными из них являются следующие.

а) В. о. сумм характеров (см. Дирихле характер). Если - неглавный характер , то при

б) В. о. сумм Вейля (см. "Вейля сумма"). Пусть n - постоянное число с условием и пусть Пусть далее точки n-мерного пространства разбиты на два класса - точки класса 1 и точки класса 2. Т о ч-кой класса 1 наз. точка

где первые слагаемые - рациональные несократимые дроби с положительными знаменателями, имеющими общим наименьшим кратным число Q, не превосходящее , а вторые слагаемые удовлетворяют условию

Точкой класса 2 наз. точка, не являющаяся точкой класса 1. Тогда, если положить

то для точек класса 2 при будет выполняться

Если же положить

то для точек класса 1 при будет выполняться

или также

в) В. о. тригонометрических сумм с простыми числами. Пусть И пусть, в обозначениях теоремы б), точки n-мерного пространства разбиты на классы следующим образом.

К классу 1a отнесены точки, удовлетворяющие условиям

К классу 1b отнесены точки, не являющиеся точками класса 1aи удовлетворяющие условиям

Наконец, к классу 2 отнесены все остальные точки. Если положить для точек класса 1а

или также

для точек класса 1b, взяв положить

(при можно брать любую из указанных пар значений и ); и, наконец, для точек класса 2 положить

то при всегда будет выполняться

Лит.:[1] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [2] Xуа Лo-гeн. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964. А. А. Карацуба.