ВЕКТОР-ФУНКЦИИ АЛГЕБРА

произвольное семейство Афункций на топологич. пространстве Т, принимающих в каждой точке значения в нек-рой алгебре (вообще говоря, зависящей от t), образующее алгебру относительно поточечных операций. Если каждая из алгебр является банаховой алгеброй, то Аназ. В.-ф. а. при условии, что для любой функции функция непрерывна на Т. Важнейшие общие вопросы теории В.-ф. а.: описание идеалов в Л в терминах идеалов в алгебрах и установление критерия принадлежности функции алгебре А;чаще всего рассматривается случай, когда А - банахова алгебра относительно нормы

а - локально компактное или паракомпактное пространство. Особый интерес представляет В.-ф. а., связанная с семейством -алгебр A(t);в этом частном случае известны некоммутативные аналоги Вейерштрасса - Стоуна теорем" и нек-рые теоремы о реализации -алгебр (в частности, -алгебр с непрерывным следом) в виде В.-ф. а. В свою очередь, эти теоремы позволяют в нек-рых случаях доказать коммутативность совокупности операторов, перестановочных с операторами симметричных представлений алгебр с инволюцией (континуальный аналог леммы Шура).

А. И. Штерн.