ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ

в теории функций комплексного переменного - положения, выявляющие закономерности изменения отображающих функций при определенных деформациях плоских областей.

Основным качественным В. п. является Линделёфа принцип, к-рый состоит в следующем. Пусть ,-односвязная конечная область в -плоскости, имеющая более одной граничной точки, и пусть , ,-линия уровня функции Грина для B_k , т. е. образ окружности при однолистном конформном отображении круга на область , оставляющем неподвижным начало. Пусть далее функция , осуществляет однолистное конформное отображение области в область . Тогда:

1) любой точке , лежащей на , соответствует точка, находящаяся либо на линии уровня (это возможно лишь, если ), либо внутри нее;

2) однолистное конформное отображение на (равенство имеет место только в случае ). Принцип Линделёфа выводится из теоремы Римана о конформном изоморфизме областей и из леммы Шварца. Более тонкие построения позволяют находить поточечные отклонения отображающих функций, вызванные заданной деформацией отображаемых областей.

Основной количественный В. п., полученный М. А. Лаврентьевым [1] (см. также [2]), состоит в следующем. Пусть , - односвязная конечная область с аналитич. раницей. Пусть имеется семейство областей

, с жордановыми границами , , где равномерно относительно Кдифференцируема по tпри t=0, и пусть ,-функция, однолистно и конформно отображающая на круг , а - обратная к функция при фиксированном t.

Тогда

и равномерно внутри стремится к нулю при . В [3] дано распространение этого результата на двусвязные области. При дальнейших ограничениях на области удается получить равномерные в замкнутой области оценки остаточных членов в разложении отображающей функции по параметрам, характеризующим деформацию границ рассматриваемых областей (см. [4]).

Лит.:[1] Лаврентьев М. А., "Тр. Физ.-матем. ин-та АН СССР", 1934, т. 5, с. 159-246; [2] Куфарев П. П., "Матем. сб.", 1943, т. 13(55), № 1, с. 87-118; [3] Александров И. А., "Сиб. матем. ж.", 1963, т. 4, № 5, с. 961-76; [4] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.

И. А. Александров.