* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
Теория
упругости
УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ П ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ Так как по закону Гука напряжения можно выразить через дефор мации (а следовательно, чгрез перемещения u, v, w) н> обратно, дег^юр* мащш можно выразить через напряжения, то в теории упругости одну и ту же задачу можно решать либо в перемещениях, либо в напряжениях, рассматривая соответствующую систему дифференциальных уравнений. Этим двум подходам отвечают и различные вариационные принципы (принцип минимума потенциальной энергии и принцип Каетнльяно). Заметим, что можно исходить из смешанной системы уравнений, но это не всегда удобно. Уравнения Ламе. Внося в дифференциальные уравнения равно весия |(12) гл, 1 ] компоненты напряжения согласно (11) гл, 1 н заменяя компоненты деформации по формулам Коши [(17) гл. 1 ] , находим диф ференциальные уравнения динамики упругого тела (А. + ц ) - g - + |i Ди + X
ду ц Ди + Z ди dv^
dt*
(13)
Здесь
е
— относительное изменение объема; —оператор Лапласа; ^ »
^
2
2
составляющие ускорения; f> — плотность; X, Y, Z — составляющие объемной силы. В задачах статики упругого тела ускорение равно нулю; при отсут ствии объемных сил уравнения статики имеют вид (>- + ^ ) - ^ - + |хД" = 0;
ЬЧ dt* &
d*w dt
2
дг
(Я + |i>-gj-+ (I А» - 0;
д
(14)
«
•
&
0.
Некоторые следствия. И з уравнений (14) вытекает, что объемное расширение s является гармонической функцией Де = О, а составляющие перемещения и, v, w — бигармоническнми функциями ДДи = 0; ДДо=0; ДД«у = 0.
