БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА

исторически первая форма больших чисел закона. Б. т. приведена в четвертой части книги Я. Бернулли (J. Bernoulli) "Ars conjeсtandi" ("Искусство предположений"). Эту часть можно считать первым серьезным трудом по теории вероятностей. Книга издана в 1713 Н. Бернулли (племянником Я. Бернулли). Б. т. относится к последовательности независимых испытаний (см. "Бернулли испытания"), в каждом из к-рых вероятность появления нек-рого события (успеха) равна р. Пусть п - число испытаний и т - случайная величина, равная числу успехов.

Б. т. утверждает, что каковы бы ни были положительные числа при всех достаточно больших вероятность Рнеравенства

будет больше . Доказательство этой теоремы, данное Я. Бернулли (и основанное только на изучении характера убывания вероятностей в биномиальном распределении по мере удаления от наивероятнейшего значения), сопровождалось неравенством, позволяющим указать нек-рую границу для указанного по данным . Напр., Я. Бернулли находит, что при вероятность неравенства

будет больше при Несколько совершенствуя первоначальное рассуждение Я. Бернулли, можно установить, что пдостаточно выбирать с условием

что дает, в свою очередь, для вероятности неравенства

оценку вида

Для приведенного выше примера получается условие (более сложные оценки показывают, что достаточно брать для сравнения заметим, что теорема Муавра - Лапласа в качестве приближенного значения п ₀ дает 6 498). Другие оценки для можно получить, используя Бернштейна неравенство п его аналоги (см. также "Биномиальное распределение").

Лит.:[ 1] Бернулли Я., Часть четвертая сочинения Якова Бернулли "Ars conjectandi", СПБ, 1913; [2] Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; [3] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946.

Ю. В. Прохоров.