АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАСС

класс однотипных алгебраических систем. Все системы любого данного типа предполагаются записанными в определенной сигнатуре и наз. -системами. Класс -систем наз. абстрактным, если он содержит вместе с каждой своей системой и все изоморфные ей -системы.

Пусть - абстрактный класс -систем. Говорят, что -система обладает локальной совокупностью -подсистем, если существует направленное по включению множество подсистем системы , к-рые покрывают систему (т. е. ) п принадлежат классу,. Класс наз. локальным, если каждая -система , обладающая локальной совокупностью -подсистем, принадлежит классу . Теоремы, устанавливающие локальность тех или иных абстрактных классов, принято наз. локальными (см. "Мальцева локальные теоремы").

-система наз. -аппроксимируемой (или -резидуальной), если для любого предиката (т. е. для любого основного предиката, а также для предиката, совпадающего с отношением равенства в ) и для любых элементов а ₁ . . ., а _п из , для к-рых , существует гомоморфизм : системы в нек-рую систему нз класса , при к-ром снова Любая подсистема -аппроксимируемой системы сама -аппроксимируема. Если - класс всех конечных fi-систем, то -аппроксимируемая система наз. финитно аппроксимируемой (или резидуально конечной). Если абстрактный класс обладает единичной системой , то -система -аппроксимируема тогда и только тогда, когда она изоморфно вложнма в декартово произведение систем из класса (см. [3]). Класс наз. резидуальным, если всякая -аппроксимируемая система принадлежит классу . Класс наз. гомоморфно замкнутым, если он содержит с каждой своей -системой п все -системы, являющиеся гомоморфными образами системы . Всякий резидуальный гомоморфно замкнутый класс - локальный (см. [5]).

Класс -систем наз. (конечно) аксиоматизируемым, если существует такая (конечная) совокупность замкнутых формул 1-й ступени сигнатуры , что состоит из тех и только тех -систем, в к-рых истинны все формулы из .

Конечно аксиоматизируемые классы наз. иначе элементарными классами. При помощи обобщенной гипотезы континуума доказано (см. [5]), что: 1) А. с. к. аксиоматизируем, тогда и только тогда, когда он замкнут относительно ультрапроизведений и его дополнение (в классе всех -систем) замкнуто относительно ультра-степеней; 2) А. с. к. элементарен тогда ц только тогда, когда он и его дополнение замкнуты относительно ультрапроизведений. Теория аксиоматизируемых А. с. к. изучает связи между структурными свойствами рассматриваемых классов и синтаксич. особенностями формального языка, на к-ром эти классы могут быть заданы. Среди аксиоматизируемых классов особенно важную роль в алгебре играют многообразия (см. "Алгебраических систем многообразие").и квазимногообразия (см. "Алгебраических систем квазимногообразие"), к-рые локальны и резидуальны.

Наряду с аксиоматизируемостью замкнутыми формулами 1-й ступени рассматривают также аксиоматизируемость при помощи специальных замкнутых формул 2-й ступени. К сигнатурным функциональным и предикатным символам фиксированной сигнатуры присоединяют предикатные переменные , Пусть - бескванторная формула 1-й ступени, составленная из сигнатурных функциональных и предикатных символов, предикатных переменных и предметных переменных Формула 2-й ступени , где - нек-рая последовательность кванторов вида или , наз. крипто универсально и. Формула 2-й ступени, образованная из криптоуниверсальных формул без свободных предметных переменных при помощи ло-гич. связок с последующим навешиванием квантора всеобщности на все свободные предикатные переменные, встречающиеся в записях криптоуниверсальных формул, наз. булево-универсальной формулой сигнатуры . Класс -систем наз. квазиунпверсальным, если существует такая совокупность булево-универсальных формул сигнатуры , что состоит из тех и только тех -систем, в к-рых истинны все формулы из . Квазиуниверсальный класс -систем локален (теорема Мальцева). Имеется более сложное определение квазиуниверсального класса, данное А. И. Мальцевым [4].

Лит.:[1]Мальцев А. И., "Уч. зап. Ивановен, гос. пед. ин-та", 1941, т. 1, в. 1, с. 3-9; [2] его же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1959, т. 23,№ 3, с. 313-36; [3] его же, Алгебраические системы, М., 1970; [4] его же, в кн.: Тр. четвертого весе, матем. съезда. Ленинград, 1961, т. 1, Л., 1963; Г5] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [6] С1еavе J. P., "J. London Math. Soc.", 1969, v. 44, pt 1, № 173, p. 121-30. Д. М. Смирнов.