* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

521 ГИДРОДИВАМ ЯКА 522 такая линия называется л и н и е й тока. Дифференциальные ур-ия линий тока будут: dx u(x, у, z, t) dy v{x, y, z, t) dz w(x, y, z, t) & ^ & где t—произвольный, но п о с т о я н н ы й п а р а ­ м е т р . В векторной фор ме, е с л и г есть р а ­ д и у с в е к т о р , a q—вектор с к о р о с т и ж и д к о й частицы, уравнения траектории и линии то­ к а б у д у т соответственно: [dr-q] = 0. (3") Очевидно, ч т о в у с т а н о в и в ш е м с я д в и ж е н и и траехстории и л и н и и т о к а с о в п а д а ю т м е ж д у собой. О б о з н а ч а я п р о е к ц и и в н е ш н и х с и л F (кроме г и д р о д и н а м и ч . д а в л е н и я ) на к о о р д и ­ натные оси ч е р е з X, У, Z, г и д р о д и н а м и ч . д а в л е н и е — ч е р е з р, а п л о т н о с т ь л с и д к о с т и — через (>, будем и м е т ь : d*x v р а з н о о б р а з и е з а д а ч п о л у ч а е т с я от в и д о и з м е ­ нения этих граничных условий. Если дви­ ж е н и е у с т а н о в и в ш е е с я и с и л ы имеют с и л о в у ю ф у н к ц и ю U, т . е. Х = ~ , Y = дЦ ду dU , и л и F=^U, тока то в д о л ь к а ­ ждой линии соотношение: ^ у р а в н е н и я (5) д а ю т а 3 = Const + 1 7 - 1 ( « + »> + «?*), (8) f = Const + U-q*; (8&) dp dp dp Это д л я постоянного Q л е в а я часть равна знаменитый интеграл Б е р н у л л и , имеющий громадные п р и л о ж е н и я в гидравлике. Лаграняс указал весьма в а ж н ы й частный случай движения жидкости, когда сущест­ в у е т т а к а я ф у н к ц и я у(х, у, z, t), ч т о и = —~ • v = или ду vdi (4) а ? dz (9) (9&) dz a г/ g = — Vr, или, в векторной форме: (4&) где V = * Ох + Э ду + 7сdz и *, j , 7с—единич~ ^ ные в е к т о р ы , в з я т ы е в д о л ь осей к о о р д и н а т . Р а з д е л и в у р - и я (4) на ( и в с т а в и в в н и х > вместо ^ , ~ , ~ и х з н а ч е н и я , п о л у ч е н н ы е 1 д ф у н к ц и я <р н а з ы в а е т с я потенциалом с к о р о с т е й . Е с л и с и л ы имеют с и л о в у ю функцию U и существует потенциал скоро­ стей (р, т о у р а в н е н и я (5) д о п у с к а ю т и н т е г р а л Лагранжа: из в т о р и ч н о г о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я у р а в н е ­ н и я (1) по о т н о ш е н и ю к t, п о л у ч и м у р - и я движения жидкости: ди I du "dt + 7йГ дх dv , dv ~ЪТ + и-* дх и или , + ~ът f U dx 1 1 ди Оу~ + W , dv , dv •ay dz • " dw 7 ••" dy +& » 1dz 1 X Y — = Z r . dp dx dp dy dp dz где F(t)—произвольная функция. Если Q п о с т о я н н о , то л е в а я ч а с т ь у р - и я (10) обра* щ а е т с я в ~ ; в этом с л у ч а е и з ф-л (7) и (9) д л я о п р е д е л е н и я ц> п о л у ч и м у р - и е Л а п л а с а : + д& + д? ~°- s -н©) +©) +ел+™. р я в (10) dt & W 2 + (Ю&) (5) или dq dt в векторной форме: 2 <") V# — 2 • ° t < ? ] = -Р* — - V P - (5&) r К у р - и я м (5) надо п р и б а в и т ь е щ е у р а в н е н и е , выражающее неизменяемость элементарной массы ж и д к о с т и : 9р , 9(рм) З(рг&) dt ох & &у~ или, в векторной форме: + ~0z~ 9(pw) = о, (6) (6&) и ур-ие, устанавливающее связь между р и Q на о с н о в а н и и ф и з и ч е с к и х свойств ж и д к о ­ сти: р =/&({<&)• Этих п я т и ур-ий д о с т а т о ч н о д л я о п р е д е л е н и я пяти ф у н к ц и й и, v, w, р, Q р т четырех н е з а в и с и м ы х п е р е м е н н ы х х, у, z, t. Е с л и ж и д к о с т ь н е с ж и м а е м а я , то р = Const, и у р - и е (6) п р и н и м а е т в и д : ди dx dv dy Т . о . , в этом с л у ч а е з а д а ч а п р и в о д и т с я к о п р е д е л е н и ю т о л ь к о одной ф у н к ц и и <р и з у р - и я (11) п р и д а н н ы х в к а ж д о й з а д а ч е г р а ­ н и ч н ы х у с л о в и я х ; з н а я <Р, по ф-лам (9) и (10) найдем и, v, w, р. Е с л и д в и ж е н и е ж и д ­ к о с т и т а к о в о , ч т о о н о тонодественио во в с е х п а р а л л е л ь н ы х м е ж д у собою п л о с к о с т я х , то движение называется п л о с к и м ; очевидно, что в этом с л у ч а е д о с т а т о ч н о з н а т ь д в и ж е ­ ние ж и д к о с т и в к а к о й - н и б у д ь одной и з п а ­ р а л л е л ь н ы х плоскостей. Особенно в а ж е н случай у с т а н о в и в ш е г о с я плоско­ г о д в и ж е н и я с потенциалом скоростей <р(х,у). И з ф о р м у л ы (3) д л я этого д в и ж е н и я v(x, у) dx — и(х, у) dy = 0 с л е д у е т , п р и у с л о в и я х (9) и (11), что с у ­ щ е с т в у е т т а к а я ф у н к ц и я у (х, у), н а з ы в а е м а я ф у н к ц и е й т о к а , ч т о у (х, у) = Const есть и н т е г р а л у р а в н е н и я vdx— udy = 0, т . е. ip(x, у)= Const есть у р - и е л и н и й т о к а . Отсю­ да получается: dx д± , ду v + ? = о, 1 (7) или dz & V q = 0. (7&) У р - и й (5) и (7) достаточно д л я о п р е д е л е н и я четырех ф у н к ц и й и, v, w, р. Ч т о б ы з а д а ч а р е ш е н и я у р а в н е н и й Г . и м е л а с м ы с л , необхо­ димо д а т ь г р а н и ч н ы е у с л о в и я , к о т о ­ рым должны удовлетворять интегралы; все — _ °1_ — I Л. ду " " дх а т (12) т . е. <р+гр есть ф у н к ц и я к о м п л е к с н о г о п е р е ­ м е н н о г о х--гу ( с м . Аэродинамика теоре­ т и ч е с к а я ) . Т . о . , задаваясь функцией к о м п л е к с н о г о п е р е м е н н о г о х+гу и р а з д е л я я