* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

381 ГЕОМЕТРИЯ н а я Г . М о н ж а о с т а е т с я по н а с т о я щ е е в р е м я основой и з о б р а з и т е л ь н о й Г . , о с н о в н ы м м е ­ тодом п р о е к т и р о в а н и я в а р х и т е к т у р е и т е х ­ н и к е . Н о и п е р в ы й с и с т е м а т и ч . т р а к т а т по дифференциальной геометрии (см.) принад­ л е ж и т М о н ж у ; п о его с х е м е и д о с и х п о р строятся элементарные курсы дифференци­ а л ь н о й Г . в в ы с ш и х ш к о л а х — и это с б о л ь ­ ш и м з а п о з д а н и е м , т . к . Г а у с с о м д а н о диффе­ р е н ц и а л ь н о й геометрии новое н а п р а в л е н и е , получившее в настоящее зремя преоблада­ ющее з н а ч е н и е . В п р о ч е м , п р о е к ц и о н н ы е м е ­ тоды Д е з а р г а и Монжа, возникшие, к а к и э л е м е н т а р н а я Г . , н а п о ч в е чисто п р а к т и ч е с к . задач, также получили теоретич. разработ­ к у . Понсле, Штейнер и Штаут построили си­ стему с и н т е т и ч е с к о й Г . , у с т р а н и в и з н е е в с е в о п р о с ы м е т р и к и ( т . е. в с е , ч т о о т н о с и т с я к измерению и получает выражение в ариф­ метич. форме—в числах); они создали, т. о., проективную Г., или Г. п о л о ж е ­ н и я , оперирующую только рядами точек, прямых и плоскостей в и х коинциденции (расположении точек н а п р я м ы х , прямых—на плоскостях, и т. п.) и пересечении. Т . о., с л о ж и л и с ь четыре основные ветви современ­ н о й Г . : 1) э л е м е н т а р н а я синтети­ ч е с к а я Г . , т . е . Г . Е в к л и д а , 2) ее н е п о ­ средственное р а з в и т и е — в ы с ш а я с и н т е ­ т и ч е с к а я Г . , т . е. п р о е к т и в н а я геомет­ р и я с примыкающими к ней дисциплинами (начертательной Г . и теорией перспективы), 3) а л г е б р а и ч е с к а я Г . , т . е . а н а л и т и ­ ческая геометрия, о п е р и р у ю щ а я средствами а л г е б р ы , и 4) д и ф ф е р е н ц и а л ь н а я Г . , т. е. а н а л и т и ч е с к а я Г . , о п е р и р у ю щ а я сред­ ствами исчисления бесконечно м а л ы х . Все эти геометрич. дисциплины сделались совер­ шенно необходимым орудием современного естествознания и техники. Первые две ветви Г . — с и н т е т и ч . Г . в ее р а з л и ч н ы х ф о р м а х — всегда оперируют непосредственно геометри­ ческими образами путем геометрич. построе­ ний, т. е. путем соединения различных обра­ з о в в более с л о я ш ы е ф и г у р ы . Д р у г и е в е т в и Г . — а н а л и т и ч е с к а я Г . в р а з л и ч н ы х ее ф о р ­ мах—ведут исследование методами алгебры и а н а л и з а бесконечно м а л ы х , т . е. путем производства алгебраических и инфинитезимальных операций. Н о эти операции дела­ ются над числами, и д л я производства при их помощи геометрич. исследований необхо­ димо г е о м е т р и ч . о б р а з ы в ы р а з и т ь в ч и с л а х , т. е. в координатах. К а ж д а я система иссле­ д о в а н и я имеет с в о и п р е и м у щ е с т в а , н о и свои б о л ь ш и е н е у д о б с т в а . В с л е д с т в и е этого в п о ­ с л е д н и е годы п о с т р о е н ы н о в ы е д и с ц и п л и н ы , составляющие синтез обоих методов: они п р о и з в о д я т те ж е а л г е б р а и ч е с к и е и и н ф и н и тезимальные операции непосредственно над геометрическ. объектами. В в е к т о р н о м а н а л и з е ( с м . Векторное исчисление) эти­ м и о б ъ е к т а м и слуягат н а п р а в л е н н ы е п р я м о ­ линейные отрезки—векторы, а в т е н з о р ­ ном а н а л и з е (см. Тензорное исчисле­ ние)—более с л о л ш ы е г е о м е т р и ч е с к . о б ъ е к т ы . В 19 в . р а с ш и р е н и е м а т е м а т и ч . методов п о ­ требовало углубленного изучения их основ. В с в я з и с этим в о з н и к л и и т е о р е т и ч . в о п р о ­ сы, связанные с логич. обоснованием Г. От­ н о с я щ и е с я сюда и с с л е д о в а н и я п р и в е л и , с о д ­ ной с т о р о н ы , м о ж н о с к а з а т ь , к с о в е р ш е н н о й ной Г . и т е п е р ь л е ж а т « Н а ч а л а » Е в к л и д а . Это сочинение до 19 в . в н е и з м е н е н н о м в и д е служило даже учебником элементарной Г . Оно было п е р е р а б о т а н о Л е ж а н д р о м , « Н а ч а ­ ла» к о т о р о г о до с и х п о р с л у ж а т т и п о м о с н о ­ в н о г о р у к о в о д с т в а по Г . Х о т я в « Н а ч а л а х » Евклида и преобладает логическая обработ­ к а Г . , но Е в к л и д п о л ь з у е т с я и г е о м е т р и ч е с к . интуицией д л я рассуждений арифметич. х а ­ рактера ( V T I к н . «Начал»), а вскоре после него А р х и м е д у г л у б и л г е о м е т р и ч е с к . м е т о д ы , широко применив и х к измерению (метри­ ка), к разысканию ц. т. геометрических т е л , к м е х а н и к е , особенно к г и д р о с т а т и к е и далее к физике (катоптрика). Г . Е в к л и д а и Архиме­ д а , в общем, в п о л н е х в а т а л о д л я . р а з р е ш е н и я п р а к т и ч е с к и х з а д а ч того в р е м е н и , и о т к р ы ­ тие к о н и ч . с е ч е н и й , с д е л а н н о е , п о в и д и м о м у , Менехмом, было с к о р е е р е з у л ь т а т о м л ю б о ­ з н а т е л ь н о с т и , чем п р а к т и ч . н е о б х о д и м о с т и . Теория конич. сечений, п о з ж е п о с л у ж и в ш а я базой небесной м е х а н и к и , о ч е н ь з а н и м а л а д р е в н и х г е о м е т р о в , и А п о л л о н и й и м е л уяее возможность составить целый трактат, по­ с в я щ е н н ы й этим з а м е ч а т е л ь н ы м к р и в ы м . Со­ чинение А п о л л о н и я , по с у щ е с т в у , с о д е р л ш т у ж е методы а н а л и т и ч . Г . Т а к и м о б р а з о м , с о ­ в р е м е н н а я э л е м е н т а р н а я Г . , со в к л ю ч е н и е м к о н и ч е с к . сечений и о т д е л ь н ы х более с л о ж ­ ных к р и в ы х ( ц и с с о и д а , к о н х о и д а , с п и р а л и и др.),—это тотгеометрич. материал, который п е р е ш е л к н а м от к л а с с и ч е с к . д р е в н о с т и . В средние в е к а в н и м а н и е г е о м е т р о в б ы л о с о ­ средоточено н а п е р е р а б о т к е « Н а ч а л » Е в к л и д а в смысле у т о ч н е н и я его л о г и ч . р а с с у ж д е н и й . С 17 в . , с п е р в ы м и ш а г а м и в с о з д а н и и м е ­ х а н и к и , к Г . были предъявлены новые з а ­ просы.-И у Ферма и у Д е к а р т а руководящие идеи аналитической геометрии (см.) в о з н и к ­ л и н а почве и с с л е д о в а н и й теоретического х а ­ рактера. Но задачи,поставленные Ньютоном, привели к такому развитию аналитической Г . , к о т о р о е с д е л а л о ее о с н о в н ы м о р у д и е м м е ­ х а н и к и . Н а долгий период синтетическая Г. у с т у п и л а место а н а л и т и ч е с к о й и л и , по к р а й ­ ней м е р е , в ы д в и н у л а ее н а п е р в ы й п л а н . Н о одновременно у ж е з а р о ж д а л и с ь идеи, к-рые в разных направлениях раздвигали рамки синтетической Г . Это ш л о н е п о с р е д с т в е н н о от з а п р о с о в т е х н и к и . Л е о н а р д о д а - В и н ч и , повидимому, первый поставил задачу о точ­ ных методах и з о б р а ж е н и я а р х и т е к т у р н ы х сооружений; изобразительные искусства ну­ ждались в теории перспективы; построение машин требовало умения точно и х проекти­ ровать в целом и в частях. Ф р а н ц у з с к и й а р ­ х и т е к т о р и и н ж . Д е з а р г (Desargues, 1593— 1662 г . ) д а л п р о ч н ы е о с н о в а н и я д л я р е ш е ­ н и я э т и х з а д а ч . В ы п у щ е н н о е и м в 1636 г . сочинение о ц е н т р а л ь н о й п р о е к ц и и л е г л о в о с н о в у д в у х р о д с т в е н н ы х м е ж д у собой д и с ­ ц и п л и н — н а ч е р т а т е л ь н о й геометрии (см.) и п р о е к т и в н о й геометрии, в о з р о д и в ш и х с и н ­ тетические методы к л а с с и ч е с к о й Г . В тече­ ние 17 и 18 в в . э т и д и с ц и п л и н ы р а з в и в а ­ л и с ь м е д л е н н о , но в 19 в . о н и п о л у ч и л и очень широкое развитие. Т р и имени играют здесь решающую роль: Монж, Гаусс и Понсле. Идеи Д е з а р г а , р а з в и т ы е К а р н о , п р е т в о р и ­ л и с ь у М о н ж а в ц е л ь н у ю д и с ц и п л и н у — в тео<р и ю графического и з о б р а ж е н и я п р о с т р а н с т ­ в е н н ы х объектов н а п л о с к о с т и ; н а ч е р т а т е л ь ­