* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

747 случаю теорему ж и в ы х сил (см. теоретическая), имеем; d( ^) или ! МАЯТНИК. Механика (2) 748 = dT^Ydy = -Pdy=*-mgdy к о л е б а т е л ь н о г о д в и ж е н и я , т . е. п р о м е ж у т ­ ка времени, истекшего между двумя край­ н и м и п о л о ж е н и я м и т о ч к и , имеем и з (1); ^ = -}/^y^C0S a^C0Sа , 0 _ (7) (3) d(v*)~-2g И н т е г р и р у я (3), и м е е м с л е д о в а т е л ь н о : v* = - 2ду + Const. (4) Если в начальном положении А точки, опре­ деляемом у , скорость р а в н я л а с ь v , то Const = vl +2ду , (о) т а к ч т о и м е е м и з (4): v*~-2gy + v% + 2gy -2g(h + у -у), (6) где Й —высота, н а которую п о д н я л а с ь бы т о ч к а , б р о ш е н н а я в е р т и к а л ь н о в в е р х со с к о ­ р о с т ь ю v и з п о л о л г е н и я А, т а к к а к в ы с о т а 0 9 0 Q 0 0 0 0 dt -V: &о da 2ff "&cosa - cosa & 0 о т к у д а , е с л и / „ — п р о м е ж у т о к в р е м е н и от н а ч а л ь н . п о л о ж е н и я А д о п о л о ж е н и я В, имеем а© Т ^2 fdt-V*. •• & 9 Г ,, J ( 1 а ... 4 0 ( 8 ) J VC0Sa-COS« И н т е г р а л в п р а в о й ч а с т и (8) м . б. п р е о б р а ­ зован еще и следующим образом. Заменим п е р е м е н н о е а н е р е м е н н ы м й, с в я з а н н ы м с а соотношением: sin- = M.sm (9; Д и ф е р е н ц и р у я п о с л е д н е е р а в е н с т в о , полу чаем: g Ь о п р е д е л я е т с я и з р а в е н с т в а ho = Ig- П р о ­ в е д я н а р а с с т о я н и и h от А п р я м у ю KL, п а ­ р а л л е л ь н у ю XX ( ф и г . 2), п о л у ч и м , ч т о в п о л о ж е н и и С т о ч к а н а х о д и т с я от KL на р а с с т о я н и и h=h +y — у, т а к ч т о и з ф о р ­ м у л ы (6) и м е е м ; (6&) = 2gh. Т. о. п р и своем д в и ж е н и и п о о к р у ж н о с т и точка будет иметь в любом своем положении 0 0 a 0 <0 * I cos "2 da = sin — du = k du, 2 2 где fc = sin у . К р о м е т о г о и м е е м : (10) eoe-e - con «„ - 2(/e - sin* | ) = 2 ( f c - ! i f t ) , ( l l ) cos. = Vl-uVi 2 3 8 2 (12) П р и н и м а я в о в н и м а н и е р а в е н с т в а (10), (11) и (12). а т а к ж е и т о , что п р и и з м е н е н и и a о т а до 0 п е р е м е н н о е и и з м е н я е т с я от 1 до 0, имеем и з (8); 0 Т = 2 1 / & Г - - d u (13) И н т е г р а л п р а в о й ч а с т и (13) п р е д с т а в л я е т с о б о й э л л и п т и ч . и н т е г р а л 1-го р о д а . Р а з ла г а я имеем; (14) где такую линейную скорость, к-рую она имела б ы п р и с в о б о д н о м п а д е н и и о т п р я м о й KL д о этого ж е п о л о ж е н и я . Отсюда следует притти к с л е д у ю щ и м з а к л ю ч е н и я м . 1) Е с л и п р я м а я KL н е п е р е с е к а е т д а н н у ю о к р у ж н о с т ь , т о h ни в каком положении точки не равно нулю, вследствие чего и скорость точки н а осно­ в а н и и (6&) не может стать р а в н о й н у л ю , т. е. т о ч к а б у д е т д в и г а т ь с я п о о к р у ж н о с т и все в одну и ту ж е сторону, совершая так назыв. п р о г р е с с и в н о е д в и ж е н и е . 2) Е с л и K L п е р е с е к а е т о к р у ж н о с т ь в т о ч к а х К& и L & , т о , т , к . в э т и х т о ч к а х h=0, п р и д о с т и ж е н и и движущейся точкой этих Положений ско­ р о с т ь ее с т а н о в и т с я р а в н о й н у л ю , м е н я я в д а л ь н е й ш е м с в о й з н а к н а о б р а т н ы й . Точ* к а в этом случае следовательно соверша­ е т к о л е б а т е л ь н о е д в и ж е н и е . 3) Е с л и KL к а с а е т с я о к р у ж н о с т и , т о д в и ж е н и е б у ­ дет а с и м п т о т и ч е с к о е . О б ы ч н о , к о г д а говорят о математическом М. в узком смы­ сле слова, то подразумевают наличие усло­ в и й , п р и к - р ы х и м е е т место к о л е б а т е л ь н о е т движение. Д л я определения полупериода : 2 1 в р я д по биному Ньютона, Ce= 1; G •• № l-8-5...(2n-l) Ш-4 oo 6...М 1 (n>0). П о д с т й в л я я : (14) в (13), п о л у ч а е м ; и т а к к а к и н т е г р а л п р а в о й ч а с т и (15) р а в е н С - „, н Я т о с л е д о в а т е л ь н о имеем: со Т = 2я ]/"-&- 2 или, в развернутом виде: С№*, (16) • } • 0 (17) П р и достаточно малых значениях а все члены последнего р я д а за исключением пер­ в о г о н и ч т о ж н о м а л ы , т а к что в этом с л у ­ чае имеем; Т- Ь1 ; / Г / . (18)