* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

тз МЕХАНИКА ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 194 нормальна к траектории, то и й Г = 0. Если модули проекций dr на оси координат обо­ значить через dx, dy, dz, то, пользуясь ф-лой векторного исчисления AJB = А В + АВ+ + А В , имеем из (120): Х Х у у г 2 dT = Xdx 2 + Ydy + Zdz. (121) x Пусть, далее, за промежуток времени от t до Z , равный At, точка переместилась из полоясения А в положение А . Полной р а б о т о й Т силы F за этот промежуток времени на этом пути называется сумма всех элементарных работ за этот же про­ межуток на этом же пути, т. е. х 2 называется ж и в о ю с и л о ю , или к и н е т и ч е с к о й энер­ г и е й точки. Т . о. по (125) имеем, что эле­ ментарная работа силы F равняется диференциалу живой силы точки. Если в поло­ жении А линейная скорость точки равня­ лась v , а в положении А равнялась v , то из (122) и (125) имеем: 2 х x 2 2 Выражение L= mv T^fd^mv*)^™}-^, А г (125&) А A 2 А A A A 2 2 Т = J Fdr=j x x F cos F, dr) dr = = J (Xdx x + Ydy+Zdz). (122) В частности, если точка движется прямо­ линейно и если F совпадает с направле­ нием движения, и так как в этом случае •co$(F, т) = , то из (122) имеем: Т = J Fdr. (122&) Если к тому же F = Const, то имеем из последнего равенства: T = Fs, (122") где s=r —r —путь, пройденный точкой за рассматриваемый промежуток времени. Ес­ ли же в любом положении точки F нор­ мальна к траектории, т. е. F ± dr, и т. к. в этом случае cos (F, dr) = 0, то из (122) имеем Т = 0. Если на точку действует ряд сил JF, F , F , F, причем равнодей­ ствующая их F = F 4- F + ... 4- F , то из (122") имеем: 2 x % s n t 2 n т. е. полная работа силы за какой-нибудь промежуток времени равняется изменению кинетич. энергии точки за тот же промежу­ ток времени, причем это изменение м. б. как положительно, так и отрицательно, в соответствии с чем и работа будет либо по­ ложительной либо отрицательной. Понятия работы, мощности и живой силы принадлежат к т. наз. п р о и з в о д н ы м п о н я т и я м динамики. К числу послед­ них принадлежат также и понятия ко­ личество движения и импульс с и л ы . Количеством движения точки на­ зывается произведение массы m точки на скорость v последне й. Обозначая количество движения через К, имеем следовательно: K = mv. (126) Очевидно вектор К в га раз больше вектора v и совпадает по направлению с последним. Вектор F dt называется э л е м е н т а р ­ н ы м и м п у л ь с о м с и л ы, а вектор F dt, где F есть компонента F по некоторому направлению I, называется элементарным импульсом силы по направлению I. П о л ­ н ы м и м п у л ь с о м с и л ы » / за проме­ жуток времени от t до t называется сумма всех элементарных импульсов силы за рас­ сматриваемый промежуток времени, т. е. t t x 2 А 2 А 2 1-2 Т = J&Fdr Аг А Аг x 2 2 = J (Fx + Аг А 2 Fs-j- + F) n dr jr=f Fdt. (127) = J F x dr + jp Аг а 2 dr +... = 7 +T п Z + ... +T , n где T , Т , Т Т —полные работы сил составляющих. Следовательно полная ра­ бот а равнодействующей силы будет равна ал­ гебраической сумме работ сил составляю­ щих. Если вообще работа силы за проме­ жуток At равняется AT, то с р е д н е й м о ­ щностью работы W . за рассматриваемый промежуток времени называется частное дт так что cp Аналогично этому имеем полный импульс силы по направлению I: Ч J^J&Fdt. (127&) ti Так как F = X + Г 4- Z, то из (127) имеем: U J = J (X + Y +Z)dt = (a f 2 t 2 =j Xdt -j- J Y dt + J Zdt^J t X + J Y + J , Z W = * г (123) Истинною же м о щ н о с т ь ю W в данный момент называется предел частного (123) при At ->0, так что г г h t т. е. полный импульс силы равен сумме полных импульсов силы по осям координат. Из (127) непосредственно следует, что Ж= > ( > т. е. производная по времени от полного импульса силы равняется действующей в данный Момент силе F. Из (127) имеем так­ же, принимая во внимание (106) и (37): U t J = J ma dt = mj dv = mv — mv , (129) Р 128 ? 2 x tj м-+ои) dt к ~ 1 ) Из равенств (120), (106), (37) и (15) имеем далее: dT = F dr = ma dr = m 2 dr^j = m (dv v) = (125) = d g m « ) = d g. mv*) = dL. Т. Э. m. XIII.