* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
191 МЕХАНИКА ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 192 если известны положение, величина и на правление скорости точки в определенный момент. В частности эти условия м . б . н а ч а л ь н ы м и, т. е. соответствующими мо менту t = 0. Так, если F = 0, т. е. если дви жение равномерно и прямолинейно, то из (106) имеем а= 0, и следовательно v = Const = v (112) или 0 рии, т. е. обусловливает отклонение движе ния точки от прямолинейности. Т . о., если F => 0, т. е. если сила F в любом положении точки направлена по главной нормали, то точка движется равномерно; в самом деле, в этом случае имеем из ( 1 1 7 & ) : t = 0 и v = Const. Если же в любом положении точки F = 0, то точка движется прямолинейно; в самом деле, в этом случае имеем на основании (118) ~ = 0 и о = со, что указывает на пря молинейность траектории. При круговом движении точки имеем на основании ( 4 4 " ) , ( 4 5 " ) и (46&): n Интегрируя (112&), получаем: г = v t + С. (113) Если, при t = 0, г = г , то из (113) получаем: = т. ч. вместо (113) имеем: r = v t+r , (114) что равносильно трем ур-иям: 0 0 0 0 F =±mR ^=± t d Ив, (117") (118") (119&) F n = mRco (115) У = О о У + Уо J & 2 = О о У + *<>; где (v ) , (v )y и (v ) —проекции v на оси координат, а х , у , z —координаты началь ного положения точки определяемого ра диусом-вектором г . Ур-ия (115) и предста вляют собой ур-ия движения точки, содер жащие шесть постоянных (v ) , (v )y, (v ) , х , у , z . Ур-ия прямолинейной траектории то чки получим, исключив t из (115): х-х __ у-у _ Z-Zp И16^ 0 x 0 0 3 0 0 0 0 0 0 x 0 0 s 0 0 Q 0 0 F = mR у?*+~ш*, где R—попрежнему радиус окружности, по которой движется точка. Если точка движется при этом равномерно, и так как в этом случае F = 0, то t (v )x 0 ("о) у (Яо)г& ^ & Пусть материальная точка, находящаяся под действием силы F и имеющая в данный момент скорость v, движется по траекто рии MN (фиг. 40). Разложим F на две ком поненты: одну F , называемую т а н г е н ц и а л ь н о й к о м п о н е н т о й — по нап равлению касательной, проведенной к тра ектории в рассматриваемом положении точ ки, и другую, F , называемую н о р м а л ь н о й к о м п о н е н т о й , — п о направлению соответствующей главной нормали кривой MN. Из (106), (44) и (45) имеем тогда: t n F t = (ma) n t = тщ = ± га ^ Т (117) (118) (117&) (118&) F = (ma) n = ma = га ^ n QI, причем модули этих компонент: а модуль силы: (119) Так как вектор полного ускорения а лежит всегда в соприкасающ йся плоскости кри вой и направлен всегда внутрь кривизны кривой, то, как эт.. видно из (106), и вектор F лежит в соприкасающейся плоскости и также всегда направлен внутрь кривизны траектории. Отсюда также следует, что ком понента силы F по бинормали всегда равна н у л ю . Как видно из (117), тангенциальная компонента F влияет лишь на изменение линейной скорости v, т. е. обусловливает изменение равномерности движения точки; нормальная же компонента, как видно из ( 1 1 8 ) , влияет на радиус кривизны траекто t F =* F = mRto , (119") так что сила F в равномерном движении по кругу все время будет направлена к центру окружности. Эта последняя сила представляет собой частный случай т. н. ц е н т р а л ь н ы х с и л , таких сил, линии действия к-рых проходят через одну и ту же точку. Пусть F представляет собою некоторую центральную силу, проходящую через точку О. Далее, так как направление а всегда совпадает с направ лением F, то линия действия а также все время проходит через О, так что точка будет совершать центральное дви жение, т. е., как это видно из равенства ( 5 4 & ) , секториальная скорость движения V точки постоянна, а радиусвектор, определяющий поло жение движущейся точки и имеющий начало в О, ометает площади, пропорциональные истекшим промежуткам вре мени. Такого рода движения совершают на пример планеты, находящиеся под действием силы притяжения солнца (законы Кеплера). Пусть точка, находящаяся под действием силы 2Г,переместилась за бесконечно малый промежуток времени dt из положения А, определяемого радиусом-вектором г*, в бес конечно близкое положение А& (фиг. 41), определяемое вектором г& = r -- dr. Э л е м е н т а р н о й р а б о т о й dT силы F называется скалярное произведение векто ров F и dr, так что dT = F • dr = F • dr cos (F, dr), (120) причем dr м. б. отождествлен с элементом ds пройденного пути. В зависимости от то го, будет ли 4 (F, dr) > или <90°, и эле ментарная работа dT будет либо поло жительна либо отрицательна. В последнем случае F называется т о р м о з я щ е й с и л о й . Если же 4 (F, dr) = 90°, т. е. если F n 2