* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

823 ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 824 п и с а т ь Я. Т о г д а п р о е к ц и и с у м м ы т, + Ь м . б . выражены в виде Ь. Д и а д н о е п р о и з в е д е н и е в е к т о р о в (6) а • Ь = a b i -i ( с у м м и р о в а т ь по Я, ^ ) «л + А x fl x /i м. б. с о к р а щ е н н о в ы р а ж е н о п р о и з в е д е н и е м a b^. З д е с ь о д н а к о н е л ь з я з а м е н и т ь и н д е к с ц и н д е к с о м Я, п о т о м у ч т о э т а з а м е н а п р и в о д и т к с у м м и р о в а н и ю п о и н д е к с у Я, т . е . к с к а л я р н о м у произведению аЪ=а Ъ . (7) x х х ры преобразуются к о н т р а г р е д и е н т н о по с р а в н е н и ю с е . Р а с с м о т р и м т е п е р ь л ю б о й вектор, разложенный на составляющие по век­ т о р а м е и л и ее: а = а е* = аее^. ) Е с л и п о д в е р г н у т ь т е п е р ь основные в е к т о р ы п р е о б р а з о в а н и ю (14), с о х р а н я я н е и з м е н н ы м и к о э ф - т ы ае, т о в е к т о р а будет п р е о б р а з о в а н вместе с о с н о в н ы м и в е к т о р а м и и п о л у ч и т с я новый вектор а & = сйгс . (17) х л х ( 1 6 л Такое превращение диадного произведения аЬ в скалярное произведение а Ъ называет­ ся с о к р а щ е н и е м этого диадного произведе­ н и я . Равным образом можно произвести сокра­ щение у любого аффинора х м х х Е с л и ж е п р и этом п р е о б р а з о в а н и и о с т а ю т с я н е и з м е н н ы м и коэф-ты а , т о в р е з у л ь т а т е п р е о б р а з о в а н и я п о л у ч а е т с я д р у г о й .вектор х а" = a^nt*. (lg) = % г ^ V (3) з а м е н я я и н д е к с ц и н д е к с о м Я. П о л у ч а е т с я с у м ­ ма с к а л я р н ы х произведений и л и первый ска­ л я р а ф ф и н о р а Ф: 2 * + «зз(9) Д и ф е р е н ц и а л ь н ы й о п е р а т о р , «набла», в ы р а ж а ­ ется в виде суммы А ф г и л и s i 0 =и = и + а а V - ^ 7 i дх Л !r х (Ю) равен В п е р в о м с л у ч а е а я в л я е т с я в е к т о р о м к о в а¬ р и а н т н ы м с е^, а во в т о р о м — к о н т р а в ар и а н т н ы м с е ^ и ковариантным с е . Это р а з л и ч и е с т а н о в и т с я и з л и ш н и м в том с л у ч а е , к о г д а л и н е й н ы е п р е о б р а з о в а н и я (14) я в л я ю т с я ортогональными, т. е. когда допускается только в р а щ е н и е к о о р д и н а т н о й системы е^. Е с л и п р е д ­ п о л о ж и т ь , что в е к т о р (16) и н в а р и а н т е н о т н о с и т е л ь н о п р е о б р а з о в а н и я (14), т . е. е с л и а = а е. bf^ = b»a e , Л д ljX x П о э т о м у набла-аф( эинор в е к т о р а а = а г Сокращение дивергенцию V и л и просто - ~ г.., и л и п р о с т о . (11) этого набла-аффинора образует ,. ^ Д щ а да, , да» . да 3 a = diva - - j? + ^ + (12) = V . ( 1 9 ) к о о р д и н а т ы а* п р е о б р а з у ю т с я к о н т р а г р е ­ д и е н т н о векторам е , эти числа я в л я ю т с я к о н т р а в а р и а н т н ы м и координатами ин­ в а р и а н т н о г о в е к т о р а а. Р а в н ы м о б р а з о м и з х а Х Н е с к о л ь к о более о б щ и е с о о т н о ш е н и я п о л у ­ чаются в случае применения косоугольных координат. Рассмотрим три некомпланарных единичных вектора е , е , е и три о б р а т н ы х в е к т о р а в , е , е , с в я з а н н ы х м е ж д у собой соот­ ношениями х 2 3 1 а 3 а = Ъ^пе = а е* = х а а пе м? х получается ^=V A& (20) числа а я в л я ю т с я к о в а р и а н т н ы м и (по отношению к е ) координатами инвариантного в е к т о р а а. К а к общее п р а в и л о у к о в а р и а н т н ы х координат индекс помещается внизу, у контравариантных—наверху. И з соотношения а = а е* = а е ее • •• аее„ х х х х х 6 a • 0 п р и ХФц. Введем т е п е р ь вместо н о в ы е в е к т о р ы п (не­ обязательно единичные) путем подстановки а = а ( с у м м и р о в а т ь по /г)(14) П о д с т а н о в к а (14) о п р е д е л я е т т а к ж е з а в и с и м о с т ь м е ж д у о б р а т н ы м и в е к т о р а м и п ие*, е с л и т о л ь ­ ко определитель, составленный и з координат аффинора a , не равен н у л ю . И з соотношения ( с м . Диадное исчисление) а п а е И и видно, что ае = Равным следует а =а^е . Л д ( 2 а,е*ее. е* = а,е } т (21) образом и з afl 2) п о л у ч а ю т , п р и н и м а я в о в н и м а н и е (14), и л и , п р и н и м а я в о в н и м а н и е (13), = a w. (15) П р е о б р а з о в а н и е (15) имеет т е ж е к о э ф - т ы , ч т о и (14), н о э т и п р е о б р а з о в а н и я о т л и ч а ю т с я д р у г от д р у г а . Е с л и н о в ы е в е к т о р ы п о п р е д е л я ю т с я из векторов п р и посредстве а ф ф и н о р а a , то с т а р ы е о б р а т н ы е (до п р е о б р а з о в а н и я ) в е к ­ торы е определяются из новых обратных век­ т о р о в т* п р и п о с р е д с т в е с о п р я ж е н н о г о а ф ф и н о ­ р а а^д. Т а к о е с о о т н о ш е н и е м е ж д у п р е о б р а з о в а ­ ниями векторов е и е называется к о н т р а г р е д и е н т н ы м. Поэтому говорят, что векто­ rX х Xfl я л л Ф - л ы (21) и (22) п о з в о л я ю т п р е в р а щ а т ь к о в а риантные координаты вектора в контравариантные и обратно. Е с л и е — взаимно перпендику­ л я р н ы е единичные векторы, то различие меж­ ду а и а отпадает. Ч т о б ы п о л у ч и т ь п р о с т ы е ф-лы п р и к о с о у г о л ь ­ ных координатах, нужно комбинировать ковариантные координаты с контравариантными. В о з ь м е м д в а в е к т о р а а = а е* и Ь = Ъ^е^. И х д и а д н о е п р о и з в е д е н и е р а в н о а • Ъ = а Ъее* • е или просто а Ъе. С о к р а щ е н и е этого д и а д н о г о произведения дает скалярное произведение аЪ = а Ъ*. (23) х Л х х х х у Й С к а л я р н о е произведение п о л у ч а е т в к о о р д и н а -