* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
450
Приближение функций и прогноз
Можно заметить, что знаменатель функции (6.13) равен ??n(xi). Тогда, умно жив и разделив каждое из слагаемых выражения (6.13) на (x–xi), заменив выра жение в числителе функцией ?n(x), получим формулу интерполяционного поли нома Лагранжа в компактной форме: (6.14) Аппроксимация с помощью интерполяционного полинома Лагранжа является достаточно эффективной, когда интерполируются гладкие функции и число n яв ляется малым.
6.1.5. Интерполяционный метод Ньютона
На практике для повышения точности интерполяционного полинома незначи тельно увеличивают количество узлов интерполяции. В этом случае использова ние метода Лагранжа неудобно, так как добавление дополнительных узлов приво дит к необходимости пересчета всего интерполяционного полинома в целом. Эти недостатки устраняются, если записать полином Лагранжа, используя интерпо ляционный метод Ньютона. Для этого вводится понятие разделенной разности. Разделенные разности ну левого порядка совпадают со значениями функции в узлах интерполяции. Разде ленные разности первого порядка обозначаются f(xi,xj) и определяются через раз деленные разности нулевого порядка:
разделенные разности второго порядка определяются через разделенные разно сти первого порядка:
Разделенная разность порядка n определяется соотношением
Для (n+1) ой точки могут быть построены разделенные разности n го порядка. Разделенные разности более высоких порядков равны нулю. Между разделенными разностями и производными соответствующих порядков существует соотношение Разделенная разность (n+1) го порядка от многочлена n ой степени равна нулю. Для интерполяции с постоянным шагом h вводится понятие конечные раз ности ?nf, связанные с разделенными следующим соотношением:
