* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

444 Приближение функций и прогноз В этой главе описано приближение различных функций и данных, нередко задан ных таблично, некоторыми сравнительно простыми аналитическими зависимостя ми. Это одна из важных задач математики. Рассматриваются такие виды приближе ний, как аппроксимация, интерполяция и приближение по методу наименьших квадратов. Описаны также некоторые методы экстраполяции и прогноза. 6.1. Основы теории аппроксимации 6.1.1. Преамбула Вычисление многих функций, даже элементарных и особенно специальных, тре бует больших затрат времени. Поэтому не так давно широко применялись табли цы для интерполяции таких функций, например [53]. В наше время для этого по всеместно используются СКМ [1, 189]. Аппроксимацией в системах компьютерной математики обычно называют по лучение приближенных значений какого либо выражения. Однако под аппрокси мацией функциональных зависимостей чаще всего подразумевается получение не которой конкретной и достаточно легко вычисляемой функции, вычисленные значения которой с заданной погрешностью близки к значениям аппроксимируе мой зависимости. Если некоторая зависимость y(x) представлена рядом табличных отсчетов yi(xi), то интерполяцией принято называть вычисление значений y(x) при задан ном x, расположенном в интервале между отсчетами. За пределами общего интер вала определения функции [a, b], то есть при x < a и x > b, вычисление y(x) назы вают экстраполяцией (или, иногда, предсказанием значений функции либо прогнозом [150–153]). В данном случае речь идет об одномерной интерполяции, но возможны двумерная интерполяция функций двух переменных z(x, y) и даже многомерная интерполяция для функций многих переменных. Здесь мы будем рассматривать вначале такие виды аппроксимации, которые дают точные значения функции y(x) в узловых точках в пределах погрешности вычислений СКМ по умолчанию. Обычно они используются для целей интерпо ляции и намного реже – для экстраполяции (прогноза). Если аппроксимирующая зависимость выбирается из условия наименьшей среднеквадратической погреш ности в узловых точках (метод наименьших квадратов), то мы имеем регрессию, или приближение функций по методу наименьших квадратов. 6.1.2. Полиномиальная аппроксимация аналитических зависимостей Пусть приближаемая функция ?(x) должна совпадать с исходной функцией f(x) в (n+1) точке, то есть должно выполняться равенство: ?(xi) = f(xi) = fi, i = 0,…,n. В качестве приближающей функции примем алгебраический полином: (6.1)