* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Основы теории аппроксимации 445 Задача полиномиальной аппроксимации заключается в нахождении коэффици ентов ak полинома, с тем чтобы его значения в заданных точках совпадали со значе ниями исходной функции. Выбор конкретного значения n во многом определяется свойствами приближающей функции, требуемой точностью, а также выбором уз лов интерполяции. В случае аналитической функциональной зависимости выбор степени полинома может быть любым и чаще всего определяется компромиссом между высотой порядка полинома, скоростью его вычисления и погрешностью. В качестве критерия согласия принимается условие совпадения функций f и q в узловых точках: f(xi) = Pn(xi), (i = 0, 1, …, n). Полином Pn(x), удовлетворяющий данному условию, будет интерполяцион ным полиномом. Погрешность интерполяции в узловых точках будет равна 0, а степень интерполирующего полинома n на 1 меньше числа узловых точек. Для задачи интерполяции в интервале [a,b] выбираются значения аргументов a ? x0 < x1 < ... < xn ? b, которые соответствуют значениям fi = f(xi) (i = 0,1,...,n) функции f. Для этой функции будет существовать, и притом единственный, поли ном степени не выше n, который принимает в узлах xi заданные значения fi. Для нахождения этого полинома составим систему алгебраических уравнений Определитель этой системы (6.2) является определителем Вандермонда. Он отличен от нуля, если выполняется усло вие попарного различия его элементов, то есть xi ? xj при i ? j. Это условие выпол няется, так как x0 < x1 < ... < xn. Следовательно, система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, то есть существует единственный набор коэффициентов ak. Коэффициенты ak интерполяционного полинома (6.2) можно определить, решив ее, например, по формулам Крамера: ak = ?k / W, где ?k является определителем, который получен из W путем замены столбца чле нов, содержащих (n–k) ую степень xi (i = 0,1,...,n), на столбец fi свободных членов системы (6.2):