* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

602 § 152 Полезно провъритъ эти теоремы на произвольно взитомъ примере; напримеръ, при р — 13: а = Р 1, 3, 4, 9, 10, 2, 5, 6 7, 8 Ч 12, 11 = 5. Критерий Э й л е р а . Если х означаетъ число, не делящееся на р , то, по теореме Фермата, л*- — 1 = 1 (х 2 — l ) {х 2 + 1) = 0 (.mod. ру Поэтому одинъ изъ множителей 2 . 2 I 1 Л" — 1, х 1 долженъ делиться на /) Но оба множителя совместно не могутъ делиться на р ибо въ такомъ случае ихъ разность 2 тоже делилась бы на р . Положимъ теперь, что а есть квадратичный вычеть числа р. Въ такомъ случаЬ существуетъ число с, удовлетворяющее сравнешю у '' = 2 а. Применяя вновь теорему Фермата, получимъ: а 3 = с?- 1 = 1 (mod./)), а потому каждый квадратичный вычетъ удовлетворяетъ сравнению Р - \ х 2 —1=0 Этому сравнеипю удовлетворяют!» все (р—1) квадратичныхъ выче­ товъ. Согласно же теореме, доказанной въ § 150,2 ему не можетъ удовле­ творять иии одинъ изъ невычетовъ. Следовательно, квадратичные невычеты удовлетворяютъ сравнению у - и х 2 -f-1 = о М > получаемъ, такимъ образомъ, теорему: ии Ч и с л о t п р е д с т а в л я е т ъ с о б о й кнадратичииилй в ы ч е т ь или н е в ы ч е т ъ , с м о т р я ию т о м у , к а к о е и з ъ д в у х ъ с р а н н е ш й и м е е т ъ место* с ' г = + 1 или = - 1 (mod. р) (1) 1) 6. К р и т е р и й Г а у с с а . Пусть с будетъ число, не делящееся на /к Разсмотримъ \ (р— чиселъ, кратныхъ с. 6, 2 . С Зс. , ^~ 1 с, (2)