* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
531
степень которой означим ь черезъ п Ея корни
А",,
§
135
х\,
Ад,
v„
(6)
соответственно равны тьмь изъ чиселъ (5), которыя о т л и ч н ы о т ъ н у л я , и, согласно равенству (3), эти корни удовлетворяю гь уравнешю С + * + е * + (f* +
х
-
+ А — 0.
(7)
Такъ какъ между корнями (6) нътъ нуля, то у (0) о т л и ч н о о т ъ н у л я . Для насъ безразлично, ветречается-ли одно и то же число несколько разь между величинами (6); число TZI имеется между ними во всякомъ случае 5. Теперь мы возвращаемся к ь равенству § 133, (6): г* 0(0) = Ф(х) + 11(х)
а п
(8)
полагаемъ въ немъ х — А , , А ' , х складываемъ и прибавляемъ к ь обеимъ число частямъ СФ 0), Тогда мы. въ силу равенства (7) получаемъ
1
Г 0(0) + Ф{ )
Х%
+
Ф(А ) +
2
-. +
Ф(Хп)
4-
tfu,) + U(x*) +
+
(9)
= 0(0/ (г: + с**
4 - /*•« 4 -
. + лл
•= о.
и основная идея доказательства будетъ га же самая, какъ и въ доказа тельстве трансцендентности числа е. Мы доказываем^ что функщей <р(х) можно такъ распорядиться, что
•и
Ij
м
4
\
J
1 }
/ {Хг)
стане гъ не исчезающими целммъ числом ь
2i
^
v
lf(Xr) =1
по абсолютной величине будетъ меньше 1.
Тогда равенство окажется невозможным^ и допушеше. будто г есть алгебраическое число, будетъ опровергнуто 6. Функши '/(X)
/ДА) =
имеегь видъ
ЛА* 4
л
tfi-Y"-
1
+
п
V"-' 4 -
2
+
Д ,
я
при чемъ коэффищенты д, а , а.,, отличны 01 ь пуля, а коэффищенгъ Помножая на а ~~ и полагая
н х
, суть целый числа, числа а и а а можно считать положительными
п
ах = ^
а, =
,
— А , tf-rf
а
3
= />
31
, Л * " ^ = (>п
1
:
мы получаемъ функщю
й-'/.U-» = 0(0 = Г +
- f />.^"+ +
2
+ />„,
(Ю)