* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
486 Соотношение (5) показываетъ, что L i m fl< > = 0
H
§ 122
(7)
не только при положительном'!) [л. но и тогда, когда [ л - | - 1 есть поло жительное число, следовательно, и нь случае, когда а есть отрицатель ная правильная дробь Но только въ этомь случаЬ убываше величины уже не достаточно для того, чтобы гарантировать абсолютную сходимость ряда - 1 г я к ь какъ Ь <Г 1 4- [л остается ниже 1. 4. Это приводить насъ кь в т о р о м у с л у ч а ю — 1 < О л ^ 0 . Въ э т о м ъ с л у ч а е б и н о л и а л ь н ы й р я д ь с х о д и т с я на к р у г е схо д и м о с т и , к р о м е с л у ч а я ~—1 х о т я с х о д и т с я в о о б щ е у ж е не абсол ютно. Доказательство основывается на общемъ равенстве (§ 53, 7^)
х
ВМ-п
=
/*(«> _ i _ /^оо
1
(8)
справедливость котораго для произвольна™ [л выводится изь соотношений
между бином1альными коэффициентами- Положивъ теперь, при любомъ
0
.
и умноживъ обЬ части этого равенства на I -\-%, получимъ, .огласно рав. (8): ( + V W
1
-
1
+
Щ >к +
и
'Г ; +
2
+
—
4 - - + /?")
п
1
Если абсолютное значеше / величины ^ равно 1, то, при неогра ниченном ь возрастании //. величина -""Ь остается конечной, а число становится равнымъ пулю. А такъ какъ и - 4 - 1 >• 0. то Л' -Н) согласно п. 2 имеегь конеч¬ ный пределъ и, если 1 - | - ^ не равно 0^ то и сумма имеегь конечный пределъ, т. е. рядь if Цх) сходится. Однако же, при ; — - 1. нашъ рядъ нь этомь случае не можеть сходиться, ибо при нещественномъ значешй • , меньшем!) единицы, функция ц> и) делается равною 1 - | - , " . а это выражеше обращается вь безконечность, когда [л есть огрнцател1)НОе число и ? — — I . Поэтому, согласно теореме Абеля § 113, рядь не можетъ сходиться при ~— 1.
1 (|, Ч
