* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Корреляционные методы исследования распределенных систем 537 существует временное преобразование Фурье ог пространственной кор­ реляционной функции нагрузки —- спектр пространственной корре­ ляции (37). При сделанных предположениях об операторе L существует спектр пространственных корреляций для перемещений Ф [ Л * ь Уъ ^ i 00 v(x t/ u *2> Ч\ = = ~Г v 7 V t)w(x , t y, 2 w г , /-f- т ) е а _ й к Л. < > 49 Можно показать, что функции Ф^ и O связаны между собой соот­ ношением Ы / с о ) М — '"а)Ф =Ф ., (50) ш ( в котором через L оператора x (/«) обозначен результат замены в выражении для Z, lt на /(о, % на x у на у ь г на z t v Через ? г Е а (—ito) обозначен результат замены ~ - на — ito, Jt на x , у на у , г на г . Если L является чисто временным оператором, то L (tea) представляет собой передаточ­ ную функцию системы. Тогда уравнение (50) превращается в зависимость типа (25) между спектральными плотиостнми «входа» и «выхода» линей­ ной системы с конечным числом степеней свободы и постоянными пара­ метрами. Если ж е L является пространственно-временнйм оператором, ТО уравнение (50) является операторным уравнением. Так, если опера ТОр L является дифференциальным оператором по х> у, г, то уравне­ ние (50) превращается в дифференциальное уравнение в частных про­ изводных относительно функции зависящий от семи переменных x У\, г ц у у *г - Граничные условия для этой-функции вытекают Из граничных условий для функции w (х, у, z t) и формулы (49). Решение уравнения (50) может быть найдено по методу факториза­ ции. Рассмотрим частный случай оператора ч v и ш 2 t L= z -o + ir a^' 2e + < 5 1 ) где L — самосопряженный линейный оператор в пространстве коорди* нат; г — положительная постоянная (коэффициент демпфирования). Решение уравнения (51) имеет вид 0 здесь w и ф — собственные значения и собственные функции операfbpa L соответственно; % р (а)) — коэффициенты разложения спектра Пространственной корреляции нагрузки в ряд Ф у р ь е по функциям фа (*v У\* О Фр (Xn Ух, г ). Решение (52) совпадает с формальным ре­ шением, получаемым в результате замены исходных уравнений в част­ ных производных бесконечной системой обыкновенных дифференци­ альных уравнений с последующим применением к ней стандартной 18 1949 a и Q t 2