* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
Точные решения задачи
429
Следовательно, рассматриваем симметричное относительно сечения ? = О иагружение. Все приведенные ниже формулы пригодны и для кососимметричной нагрузки, если заменить в них cos Р? и sin Р? соответственно на sin Р? и (—cos Р?). Выражения для перемещений, зададим в форме w = RW sin р?; и — RU cos р?, (16)
где U" и U — искомые функции безразмерного радиуса р. Подставив принятые выражения перемещений в формулы (3) для деформации, а затем вычислив по закону Гука напряжения, следует потребовать выполнения уравнений равновесия (I) и (2). Таким способом получаем систему двух обыкновенных диффереп опальных уравнений для функций U (р) и W (р):
~Р
-1& - j ~ "
)
+ О - 2v)
2
(W
+ JLW
)
-
2 (1 — V ) p U/ = 0 ; 1 1 2 ( l - V ) ( c / & 4 - i - ^ - - ^
2
(17) и)
— (I — 2v) p t / + PU^& = 0, где штрихами обозначены производные по р. Исключая из этой системы одну из функций, например U, приходим к уравнению четвертого порядка
U/IV
+
JL w m
(
~
4 2 р ) U7" 4
2
(18) которое может быть представлено также в виде
Общим решением этого уравнения является выражение W п
С У о (рр) + С К
2 я Я
0
(Рр) + С р/, (Рр) + С4>К
3
г
(Рр);
(20)
здесь 1 (рр) = Г~ / (&РР) — бесселева функция от мнимого аргу мента; К (РР) — функция Макдональда (при р = 0 функции Ко Ki обращаются в бесконечность). Функция U определяется равенством
п и
и с= - е д (р ) + сус, (рр) 4 с
Р
э
[ - р / (рр) 4
0
4 f l
4
(
1
~
v
)
& i (РР)] 4
(2i)
+ Q
[Р^О (РР)
f
р "
v
)
к,
(РР)] ,
