* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

1.3] § 1. РАВНОМЕРНЫЕ П.-П. ФУНКЦИИ НА ПРЯМОЙ 203 Это утверждение легко следует из неравенства Бесселя для п.-п. функций, которое в свою очередь следует из свойства минимальности коэффициентов Фурье. Пусть X . . . , Х — произвольные различные действительные числа и Ci, с , с — произвольные комплексные числа. Тогда в силу очевидных преобразований 8f л 2 п М {|/ (х) - 2 n е * *** 1> = е 2 М А /<*)!*> - 2 kM 7 {f(x)e-4 x n i x — x A 2 n 2 2 * i 4 M{e *t e ** } = c = M{ /(x)!} - 2 4 a (X*)- 2 * + 2 * * c c 7 я n 2 n n = = л*{|/(*)1 } + 2l *- ( *)l - S l ^)! c fl x e e 8 Из этого тождества следует, что минимум левой части достигается Полагая с = а(Х ), получим при c =-a(kk). h Л А Так как левая часть неотрицательна, то 2 МХ )| <Щ|/(*)!*}, а й (1.1) что является неравенством Бесселя для п.-п. функций. Из неравенства (1.1) легко следует приведенное выше утверждение о функции а (К). В самом деле, из неравенства (1.1) следует, что для любого натурального п значений X, для которых — т - т ^ I я (X) I < ~ , — конечное число. Придавая п значения 0, 1, w-f-1& я 2, получим, что всех X, для которых а()ф0, не более чем счетное множество. Обозначим те X, для которых а (X) ф 0 (в произвольном и пусть а (к ) = А . порядке), через X Числа Х„ называются показателями Фурье функции f(x), а числа А — ее коэффициентами Фурье, Таким образом, каждой равномерной п.-п. функции можно сопоставить ряд Фурье п п п J *) ~ 2 А. п * . А = М У (х) в п •