* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

202 ГЛ. I I I . ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [1.3 Усиленная теорема о среднем значении. каждой равномерной п.-п. функции f(x) предел + Для lim -> 1 J С f(x)dx=\m г—оо 1 ^- С f(x--a)dx J = + a)}=Mf(x)} = Mf(x существует равномерно по а. В частности, полагая а — — Г, получим M{f(x)}= о lim -=r f(x)dx= —+ • .* * —Г lim ^ т V f(x)dx. T-*ao * J —Г z Среднее М { / } обладает следующими очевидными свойствами: 1) A f { c / } = <77W{/} (с — постоянное комплексное число). 2) M{f+g = M{f}+M{g}. 3) М {/(лг + А)} = М {f(x) {а — произвольное действительное число). 4) Если последовательность равномерных п.-п. функций А С*)» / а ( )> • • • > fn С*0> • • • сходится равномерно на всей числовой оси к функции /(ЛГ), ТО х Пт M{f } n = M {Urn f } n = M{f. n—t- со л - * оо Следующее свойство менее очевидно и нуждается в доказательстве. 5) Пусть f(x) — равномерная п.-п. функция. Если / ( л г ) ^ 0 и не равна тождественно нулю, то ж { / ( * ) } > о. 2. При любом действительном X функция е~ — периодическая с периодом 2тс/| X |. Поэтому если f(x) — равномерная п.-п. функция, то этим же свойством обладает произведение f(x)e~ . Следовательно, функция гХх lXx a(k) = M{f(x)e~ } iXx определена для всех действительных X. Фундаментальное значение имеет следующий факт: Функция а (К) может отличаться от нуля самое большее на счетном множестве значений X.