* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

7.4J § 7. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ В бАНАХОвЫХ П О Т А С В Х Р СР НТА один из обобщенных многочленов, наименее уклоняющийся от функции f{x) на Е, является наименее уклоняющимся от этой функции и на всем компакте R. Вопрос о единственности обобщенного многочлена наилучшего приближения разрешается следующей теоремой. Т е о р е м а 2 ( Х а а р ) . Для того чтобы для каждой непрерывной на компакте R функции существовал единственный обобщенный многочлен наилучшего приближения Ра(х) ? необходимо и достаточно, чтобы каждый многочлен Р ( * ) ? : ф , Р(х)фО имел бы на R не более чем в п — 1 различных нулей. Компакт R, удовлетворяющий условиям теоремы Хаара, называется чебышевским множеством. В случае, когда компакт R лежит в ^-мерном эвклидовом пространстве Е , k^2, то условия теоремы Хаара заведомо не выполняются, если R содержит внутренние точки. Более полно структуру чебышевских множеств выясняет следующая теорема. множестТ е о р е м а 3 ( М э р х ь ю б е р ) . Компактное во R, содержащее не менее двух точек, тогда и только тогда является чебышевским множеством, когда R гомеоморфно некоторому замкнутому множеству на окружности. При этом оказывается, что если на множестве R, удовлетворяющем условиям теоремы Мэрхьюбера, существует единственный обобщенный многочлен наилучшего приближения степени п, то при четном п компакт R гомеоморфен подмножеству отрезка, а при нечетном п компакт R гомеоморфен окружности или подмножеству отрезка. На чебышевские приближения непрерывных на компакте функций обобщается ряд свойств соответствующих приближений непрерывных функций на отрезке (например, теорема 1 Чебышева из п. 3.5). Сведения об этих результатах, а также дальнейшем развитии теории чебышевских приближений можно найти в [1], [3], [ 7 U 8 ] , [12] и [15]. к 7.4. Некоторые общие замечания о теории приближения функций. Опишем теперь кратко вопросы теории функциоприближения, рассмотренные нами выше. В нальных терминах эти задачи можно описать следующим образом. 1/ 6 4 Р. С. Гутер и д р .