* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

192 ГЛ. I I ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [7.3 — система линейно независимых функций, определенных и непрерывных на R, и пусть 1 ..., — действительные числа. Всякую функцию вида и i= 1 будем называть обобщенным многочленом (относительно системы Q). Совокупность всех таких обобщенных многочленов будем обозначать через ф . Для каждой непрерывной на R функции fix) величина а \f-Pl = х maxf{x)-P{x) от называется отклонением {расстоянием) функции f(x) обобщенного многочлена Я (•?)(—ф > а величина 2 Д?(Л = i n f f- p — наилучшим приближением в смысле Чебышева данной функции посредством обобщенных многочленов Р(х) ? $ . При сделанных предположениях всегда существует обобщенный многочлен P (Х) ? ф такой, что Q Q 2 т. е. в $Р всегда существует обобщенный многочлен, осуществляющий наилучшее приближение данной непрерывной функции fix). Т е о р е м а 1 (Ш. В а л л е - П у с с е н — Е. Я. Р е м е з ) . Пусть на компакте R фиксированы система непрерывных линейно независимых функций (7.4) и некоторая непрерывная функция f{x). Тогда существует конечное подмножество Е компакта R, состоящее из г точек Е= {х ..., x CZ Ry 1 ^ г < ; п -~ 1, такое, что наилучшее приближение функции fix) при помощи обобщенных многочленов системы ф на компакте R в смысле нормы (7.3) совпадает с таким же наилучшим приближением функции f{x) на множестве Е при этом по крайней мере 2 1у r 2