* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

172 ГЛ. I I . ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [5.1 Для непериодического случая отметим теорему С. М. Никольского об одном асимптотически наилучшем линейном методе приближения функций алгебраическими многочленами. Т е о р е м а 2 (С. М. Н и к о л ь с к и й ) . Пусть /(•*;)?:LipAil, х ? [ — 1 , 1] (см. п. 3.8), Р ( л г ) = 1 , P (х) = cos k arccos х — многочлены Чебышева (k=l, 0 2, . . . ) k a = l f < ^ § k d t , * = . , п— 1, 2 х 1 л ) = ^ ^ ^ , k=, % п=, 2,.... и пусть и С*; / > = п ? + 2 х 1" > а А О*)- (4.5) Тогда 2^- — е < sup max s? 1 |/(*)—?/„(/; / (л) $ L i p ^ 1 — 1 г? = 0 n In f—J—) & / s„>0, Значит, метод приближения (4.5) является асимптотически наилучшим линейным методом приближения функций f(x) класса L i p ^ 1, х [ — 1 , 1] многочленами степени не выше п — 1. § 5. Приближение функций одного переменного в среднем 5.1. Общие замечания. Мы будем рассматривать теперь вопросы приближения в среднем для функций, суммируемых в некоторой степени. Пусть Е — измеримое множество на прямой, р^у q(x) — суммируемая, почти всюду положительная на Е функция (называемая обычно весом). Рассмотрим функции f(x), определенные и измеримые на множестве Е. Совокупность всех измеримых функций f(x), для которых