* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

4.1] § 4. МЕТОДЫ РАВНОМЕРНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ 159 Функция D {u) называется ядром Дирихле п-го Для нее справедливы следующие соотношения: n порядка. А.(—A) = A.O* — С о D (u)du=. n Т е о р е м а 1. Если /(лг)?С[—тс, тс], g(x)(?C[—тс, тс] и все коэффициенты Фурье функций fix) и g(x) совпадают, то функция f(x) тождественна с функцией g(x). Т е о р е м а 2. Если ряд Фурье функции / ( л г ) ? С 2 сходится в точке XQ, то он сходится к f(x ). Отметим также результат Дю-Буа-Реймонда о том, что для произвольной непрерывной периодической периода 2тс функции /(лг) ее ряд Фурье не обязан сходиться во всех точках периода. А. Н. Колмогоров построил пример суммируемой функции, ряд Фурье которой расходится во всех точках. Т е о р е м а 3. Пусть функция /(лг) определена на отрезке [—тс,тс]и имеет на нем ограниченную вариацию *), тогда ее ряд Фурье сходится в каждой точке х^[—тс,тс] к значению / ( л г - 0 ) + / ( л г + 0) 2 Я Q а в точках х = ± тс — к /(-тс + значению 0)+/(*-0) 2 В частности, в точках непрерывности рассматриваемой функции /(лг) ее ряд Фурье сходится к /(лг). Перейдем теперь к вопросу о скорости приближения сумм Фурье некоторой функции /(лг) к этой функции. Т е о р е м а 4 (А. Л е б е г ) . Пусть / ( л г ) ^ С | , тогда я IS n (лг; / ) -f(x) | ^ (3 + In п) Е %п