* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

156 ГЛ. И . ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ЗЛО а = — оо, Ь = оо); при этом дополнительно будем предполагать, что функции класса ограничены на всей числовой оси. Величина Е ® (Л= а inf ? б © 0 sup - с о < х < о о f(x) — g(x) называется наилучшим приближением функции f(z) с помощью целых функций класса ($„. Т е о р е м а (С. Н. Б е р н ш т е й н ) . Для того чтобы функция f(x) принадлежала классу Н^ необходимо и достаточно, чтобы существовала постоянная с^>0 такая, что для всех целых п имело бы место г (3-17) Условие (3.17) остается достаточным для принадлежности к классу Н^ если оно выполняется не для функции f(z) всех п, а лишь для последовательности п, пробегающей некоторую возрастающую геометрическую последовательность. г ЗЛО. Взвешенные приближения функций на всей числовой оси. Рассмотрим теперь некоторые вопросы приближения непрерывных функций, определенных на всей числовой оси, относительно некоторого заданного веса. Пусть функция Ф (х) определена и положительна для всех действительных х, и пусть l i m - ^ Т = 0 & п=, 2, . . . Рассмотрим совокупность всех непрерывных функций, каждая из которых определена на всей числовой оси и удовлетворяет условию | * | - * со ( * > Ф lim Ш = 0. Эта совокупность при помощи нормы I/Iksup — 00 < X <. /(х) -ШЩ CO (3.18) * V*7