* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.9] § 3. РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 156 Поэтому здесь приходится в качестве аппроксимирующих функций брать другие, например целые функции экспоненциального типа *). Пусть фиксировано <з^>0. Функция g(z) комплексного аргумента z называется целой функцией экспоненциального типа степени не выше о, если 1°. g(z) раскладывается в степенной ряд, сходящийся на всей плоскости. 2°. Для любого е ^ > 0 существует постоянная Л ^ > 0 такая, что при любом z Совокупность всех целых функций экспоненциального типа степени не выше о, ограниченных на всей действительной оси, будем обозначать через d^. Теория наилучших приближений действительных функций, определенных, ограниченных и непрерывных на всей числовой оси, с помощью целых функций экспоненциального типа построена С. Н. Бернштейном и в известном смысле аналогична теории наилучших приближений периодических непрерывных функций с помощью тригонометрических многочленов. Указанная аналогия выражается, в частности, в том, что подобно тригонометрическим многочленам для экспоненциальных функций имеет место следующее утверждение (С. Н. Б е р н ш т е й н ) : Если g(x)?® , a то I §•&(*) l < ° sup — оо < X < со sup g(x) y — оо < л: < оо причем это неравенство точное, венства достигается для функций g(z) = и только для них. i<:e т. е. в нем знак равида i(,z ae -{-b- ДЛЯ того чтобы установить связь между степенью гладкости рассматриваемой функции и скоростью убывания ее наилучших приближений с помощью функций класса @)„ оказывается удобным рассматривать введенный в п. 3.8 класс Н (в определении класса в п. 3.8 следует считать теперь {г) *)& О другом подходе к этому вопросу см. в п. 3.10.