* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

154 ГЛ. I I . ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [3.9 Аналогичная теорема получена С. М. Никольским и для четного k следует только вместо [А (А) поставить постоянную v(?)= lim п Е<$ (лг | лг J*" ). к 1 л — оо * • V n • Перейдем теперь к асимптотическим оценкам наилучших приближений для классов функций. Обозначим через Lipjw 1 класс функций f(x), определенных на некотором фиксированном [а Ь] и удовлетворяющих на нем условию Липшица с постоянной М: у f(x + h)—f(x)^Mh Теорема y xQa, Н x + hQa, Справедливо b. ра- 9 (С. М. Н и к о л ь с к и й ) . венство sup ! % 1 (/) = _ _ ъ где е „ > 0 , г — 0 я In я j Пусть, далее Шк [а Ь] — класс функций, аналитических в эллипсе с фокусами в точках а и Ъ и полусуммой осей, равной h причём в указанном эллипсе п у y Через Щ (/) в этом случае будем обозначать наилучшее приближение функции /Сг)?ЭД/с [а, Ь] на отрезке с помощью многочленов класса ф . Т е о р е м а 10 (Н. И. А х и е з е р ) . п л sup ?ф ( / ) = — 2J(—1) ! . g 2 9/4-1 • О других вопросах теории равномерных наилучших приближений алгебраическими многочленами см. в [1], [3], [4], [6]. [7]. [81 [9], [ П ] и [12]. 3.9. Наилучшие приближения функций целымя ф у н к циями. Займемся вопросом приближения функций, определенных и ограниченных на всей оси. В этом случае алгебраические многочлены в силу своей неограниченности на всей действительной прямой не являются аппаратом, пригодным для непосредственной аппроксимации указанных функций.