* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

146 ГЛ. I I . ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [3.7 Случай 0 < ^ а < 1 был, как уже отмечалось, рассмотрен С. Н. Б е р н ш т е й н о м , а случай а = 1 — А. З и г м у н д о м . Мы видим, что теоремы 5 и 6 вместе дают необходимое и достаточное условие принадлежности функции /(лг) к классу Н* выраженное в терминах наилучших приближений. Что же касается случая, когда функция /(лг) ? С* имеет производную /(*) (лг) ? Lip* 1, то из теоремы 5 и включения (3.12) следует, что существует постоянная Л ^ > 0 такая, что Л fijw(/) ~~?2— имеет место неравенство Е% (/)<С — , п k= о д н а к о / ( л г ) ^ Lip* 1. С другой стороны, оценка (3.14) для рассматриваемых функций не может быть улучшена в смысле увеличения показателя у п, так как это означало бы, согласно теореме 6, что рассматриваемая функция на самом деле имеет и производную порядка k--. Отметим еще, что вопрос о том, как охарактеризовать в терминах наилучших приближений класс, состоящий из всех функций /(ЛГ) ^ С# , имеющих ограниченную производную, и только из таких функций, а также и вообще вопрос о возможности этого, остается в настоящее время открытым. Рассмотрим теперь бесконечно дифференцируемые функции. Теорема 7 (С. Н. Б е р н ш т е й н ) . Для того чтобы функя ция f(x) ? С* имела производные любого порядка, необходимо и достаточно, чтобы при любом г ^ > 0 имело место равенство lim n E 0 такое, что функция /(лг)