* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.7] § 3. РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 145 и пусть ULipbl. м Очевидно, при 0 < ^ а <^ 1 имеют место включения Lip* lczH *czH * ( { { Up*l = (3.12) Т е о р е м а 5. Пусть f(x) ? Н * (М), г^>0, г = г + а, г — неотрицательное целое число, 0 < ^ а ^ 1 ; тогда где постоянная с не зависит ни от М, ни от п. При а < ^ 1 эта теорема (являющаяся следствием теоремы 1) доказана Д. Д ж е к с о н о м , а при а = 1 — А. З и г м у н д о м . Теорема, обратная теореме 5, в случае 0 < ^ а < ^ 1 является теоремой С. Н. Бернштейна, уточненной Валле-Пуссеном. Для ее доказательства фундаментальное значение имеет неравенство, носящее название неравенства Бернштейна, связывающее максимум абсолютной величины производной тригонометрического многочлена с максимумом абсолютной величины самого многочлена: пусть Т(х)— тригонометрический многочлен степени п, тогда max —оо<д:<оо | V (х) | =^ п max j Т(х) . — оо<*<оо Это неравенство находит разнообразное применение и в различных других вопросах теории функций. г ^ > 0 и г— Г-{-а, Т е о р е м а 6. Пусть f(x)?C$ , 7 — неотрицательное целое число, 0 < ^ а ^ 1 . Тогда если для всех натуральных #*) имеет место неравенство K * где А — некоторая М^с[А-max висит от А и /. (3-13) — со<л? < о о постоянная, то f(x) ? ИР (М), где f(x) |], причем постоянная с не за¬ *) Утверждение теоремы остается в силе, если потребовать, чтобы неравенство (3.13) выполнялось лишь для некоторой последовательности я, образующей возрастающую геометрическую последовательность.