* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.6] § 3. РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 137 Очевидно, что при выполнении условий теоремы А = В теоремах 1 и 2 мы, естественно, предполагали, что функция /(лг) не является многочленом (алгебраическим или соответственно тригонометрическим) степени, не превышающей п, так как в этом случае функция /(лг) просто совпадает со своим многочленом наилучшего приближения степени не выше п. В качестве примера укажем задачу об отыскании в классе Ф _ 1 многочлена Р(лг) = й + аХ + • . • + 0 - 1 - * > наина отрезке менее отклоняющегося от функции f(x) = x [— 1, 1]. Иначе говоря, если Л - 1 л 0 я n г ( л г ) = х — ( я + йХ + . . . + a _ x ~ ) п n i 0 n 1 0> 1 (3.3) ъ п ъ то требуется так подобрать коэффициенты а а ..., а_ чтобы величина max |г(лт)| имела возможно меньшее зна1 г? 1 чение. Но, очевидно, в виде (3.3) можно записать любой многочлен степени п с коэффициентом 1 при старшем члене. Таким образом, поставленная задача эквивалентна задаче об отыскании в классе всех многочленов степени п с коэффициентом 1 при старшем члене многочлена с наименьшей абсолютной величиной на отрезке [ — 1 , 1] или, что то же, многочлена указанного класса, наименее отклоняющегося от нуля на отрезке [— 1, 1]. Такие многочлены были найдены П. Л. Чебышевым и называются многочленами Чебышева (см. п. 2.1). 3.6. Приближенное построение многочленов наилучшего чебышевского приближения. В настоящем пункте мы рассмотрим некоторые методы приближенного вычисления чебышевских многочленов наилучшего приближения для непрерывных на отрезке функций. Оценку снизу для наилучшего приближения данной функции с помощью определенным образом выбранного многочлена дает следующая теорема. Т е о р е м а 1 ( В а л л е-П у с с е н). Пусть /(лг) ? С [а, Ь]> и на отрезке [а, Ь] заданы п -- 2 точек XQ<^XI<^X <^. % . х п + 1 ;