* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

136 ГЛ. I I . ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [3.5 Т е о р е м а 1 (П. Л. Ч е,6 ы ш е в). Пусть f(x) ? С [а, Ь], п — фиксированное неотрицательное целое число, Р(х)— многочлен: Р (х) ? ф „ (см. п. 3.4), и А= шах /(х)— ^ ^ Р(х). Многочлен Р(х) является многочленом наилучшего приближения функции f(x) в классе Щ тогда и только тогда, когда на отрезке [а, Ь существуют такие п--2 точек x , i = 1, 2,..., п -f- 2, п t а^ что Х х% <^,.. <^ х % п+ Ь, IQC*/)—/С**)1 = Л t t 1 = 1 , 2 , . . . , п + 2, и знак разности Q (x ) — f(x ) меняется каждой точки x к следующей x (i=, t i+1 при переходе от 2 , . . . , п~-1). выполнении В силу сделанных выше определений при условий теоремы, очевидно, имеем Аналогичное утверждение имеет место и для случая наилучших приближений тригонометрическими многочленами: Т е о р е м а 2 (П. Л. Ч е б ы ш е в). Пусть f(x) ? С&, п — фиксированное неотрицательное целое число и Т(х) — тригонометрический многочлен Т(х) ? % (см. п. 3.4). Пусть, кроме того, п А= max f{x)— Т{х), — О < X < 00 О Многочлен Т(х) является тригонометрическим многочленом наилучшего приближения функции f(x) в классе Х тогда и только тогда, когда на промежутке [О, 2гс) существуют такие 2п-~2 точек x , i = l , 2, . . . , п--2, п t О ^ x ^ х < . . . < лг t 2 2л+2 < 2тс, что T(x )—f(x ) i i = A, i=l, 2 , . . . , п + 2, и знак разности Т(х^ — f(xi) меняется при переходе от каждой точки х,- к следующей x ( i = l , 2 , . . . , п - j - !)• i+