* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.5] § 3. РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 135 Наилучшие приближения, определенные в настоящем пункте, называются равномерными наилучшими приближениями в отличие от других наилучших приближений, которые будут рассмотрены ниже (см. § 5). Если /(лг) ? С[а, Ь то согласно первой теореме Вейерштрасса (см. 3.2) имеет место равенство lim fip ( Л = 0. Аналогично в случае /(лг) ? С | штрасса (см. 3.2) вытекает, что я — оо • Л из второй теоремы Вейер- lim % „ ( / ) = 0. Наилучшие приближения Е^ и E% (f) я = 0, 1, 2 , . . . , очевидно, не возрастают: п n п Р и возрастании •... > % , (/) % ( / » = & . . . 2& % п (/) С. Н. Бернштейном было показано, что верно и обратное: какова бы ни была последовательность чисел Оо ^ СЦ ... ^ л а ^ . . . ^ 0, п lim а = 0, Я-+0О (3.2) и каков бы ни был отрезок [а, Ь], существует функция / ( л г ) ^ С [ а , Ь] такая, что для всех я = 0, 1, 2 , . . . имеет место равенство Кроме того, Бернштейн показал, что для любой последовательности (3.2) существует функция f(x) ? С$% такая, что для всех /г = 0, 1, 2, . . . Е% (Л =