* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.4] § 3. РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 133 Из этой теоремы при т = 0 следует еще раз теорема 1 Вейерштрасса (п. 3.2), и, кроме того, в ней явно указывается многочлен, приближающий данную функцию. Т е о р е м а 2 (И. Н а т а н с о н ) . Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [О, 1] и в точке х ? [0, 1] имеет производную, тогда 0 lim В& (х ; п 0 /)=/&(х ). 0 П-+ОЭ тогда Теорема 1 показывает (при т = 0), что любая непрерывная функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности ее многочленов Бернштейна; при этом оказывается возможным оценить скорость этой сходимости через модуль непрерывности ы(х; / ) (см. п. 2.4) функции f(x). Т е о р е м а 3 (Т. П о п о в и ч и у). Пусть f(x) ? С [а, Ь], В (х; п f)-f(x)^^[-y=)f). Для дважды дифференцируемой в некоторой точке функции имеется следующая оценка: Т е о р е м а 4 (Е. В о р о н о в с к а я ) . Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [О, 1 ], и пусть в точке х ? [0,1 ] 0 существует 0 производная 0 / " (дг ); тогда при п - > оо 0 ВАх ; / ) _ / ( * ) = = ™ * 0 (1 _ * o ) + ^iL О других свойствах рассмотренных многочленов Бернштейна и их обобщений можно прочитать, например, в [3], [8], [11] и [12]. 3.4. Наилучшие равномерные приближения функций многочленами данной степени. Первая теорема Вейерштрасса (см. п. 3.2) показывает, что всякую непрерывную на отрезке функцию с любой наперед заданной степенью точности можно приблизить многочленом. При этом мы не рассматривали ни вопрос о том, как изменяется эта точность в зависимости от увеличения степени многочлена, ни вопрос о том, какую наилучшую точность приближения можно обеспечить, ограничиваясь многочленами фиксированной степени, ни, наконец,