* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

132 ГЛ. I I . ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ 1 И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [3.3 Т е о р е м а 2 . Для любой непрерывной периода 2тс функции существует равномерно сходящаяся к ней на всей действительной оси последовательность тригонометрических многочленов. Подобно рассмотренному выше непериодическому случаю, возможность сколь угодно точного приближения функции на всей действительной оси с помощью тригонометрических полиномов является характеристическим свойством н е п р е р ы в н ы х п е р и о д и ч е с к и х периода 2тс функций. 3.3. Многочлены Бернштейна. Теоремы Вейерштрасса устанавливают принципиальную возможность сколь угодно точной аппроксимации непрерывных функций многочленами. Не менее важен вопрос об эффективном отыскании многочленов, приближающих данную непрерывную функцию с наперед заданной точностью. Такими многочленами являются, например, многочлены Фейера (см. теорему 11 в п. 2.4) и многочлены Бернштейна. О п р е д е л е н и е . Пусть функция f(x) определена на отрезке [0, 1], тогда ее многочленом Бернштейна степени п называется многочлен в.(х, / ) = 2 /(4) с*** о - * ) " " * • Оказывается, что многочлены Бернштейна и осуществляют, в частности, равномерное приближение непрерывных функций, а в случае достаточно гладких функций и равномерное приближение их производных. Именно, имеет место ](т = 0, 1, 2,...); Т е о р е м а 1. Пусть f(x)?C