* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

3.2] § 3. РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 131 Средняя степенная близость при фиксированной степени / 7 > 0 задается величиной f{x) — g(x) dE(nvvi p этом пред¬ g(x) и по- полагается, что верхняя грань supvrai f(x)— ? Е следний интеграл существуют и, следовательно, конечны). 3.2. Теоремы Вейерштрасса. Фундаментальные результаты, принципиально разрешающие вопрос о приближении непрерывных на отрезке функций многочленами, принадлежат К. Вейерштрассу. Первая теорема Вейерштрасса состоит в следующем: Т е о р е м а 1 ( В е й е р ш т р а с с ) . Пусть на некотором отрезке [а, Ь задана непрерывная функция f(x). Для любого s^>0 существует многочлен Р(х) такой, что для всех точек х ? [а, Ь] имеет место неравенство l/M-PWIO . Эта теорема может быть перефразирована следующим образом. Т е о р е м а I . Для любой непрерывной на некотором отрезке функции существует равномерно сходящаяся к ней на этом отрезке последовательность многочленов. Отметим, что обратное утверждение также имеет место: всякая функция, являющаяся на отрезке пределом равномерно сходящейся последовательности многочленов, является непрерывной на этом отрезке. Таким образом, возможность сколь угодно точного приближения функции на отрезке с помощью многочленов является свойством, э к в и в а л е н т н ы м непрерывности функции на этом отрезке*). Т е о р е м а 2 (К. В е й е р ш т р а с с ) . Пусть f{x) — непрерывная периода 2я функция; тогда для любого е ^ > О существует тригонометрический многочлен Т(х) такой, что для любого действительного х имеет место неравенство 1 /(х)-Т(х)<г. Этой теореме можно придать следующую форму: эквивалентную *) Отметим, что утверждение теоремы 1 Вейерштрасса содержится, в частности, в теореме 11 Фейера (п. 2.4), однако теорема Вейерштрасса была доказана значительно ранее теоремы Фейера.