* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

2.5] § 2. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 125 п — 1, kn п — 1, 2> • » • (т. е. x —узлы Чебышева) и функция f(x)?C[—1, 1]. Тогда если Q (х) ? ^1? _ i для любого п= 1, 2 , . . . является интерполяционным многочленом таким, что n 3 / г Qn (Xkn) =f(*kn)> Q&n (x ) kn = 0, k = 0, 1, 2, . . . , n n 1 *), то на отрезке [— 1, 1] последовательность {Q (x) равноf(x). мерно стремится к функции Л. Фейером было также показано, что условие обращения Q (x) в нуль производных интерполяционных многочленов в узлах Чебышева может быть существенно ослаблено; именно, достаточно, чтобы производные Q (x ) росли при п—+оо не слишком быстро. Например, утверждение теоремы 11 остается в силе, если вместо условия Q&n(Xk ) — ® потребовать, чтобы n n kn n Qn (Xkn) о() п при п—+оо. Вопрос о возможно наименьшем повышении степени интерполяционного многочлена для обеспечения сходимости интерполяционного процесса был поставлен й исследован С. Н. Бернштейном. Подробнее обо всех этих вопросах см., например, [7] и [11]. 2.5. Операции над интерполяционными многочленами, приводящие к сходящимся процессам. Подобно тому как из расходящегося ряда можно с помощью той или иной операции получить некоторый сходящийся процесс, при изучении интерполяционных методов удается из интерполяционных многочленов получать определенными способами последовательности, сходящиеся к интерполируемой функции. Первые основные исследования в этом направлении принадлежат С. Н. Бернштейну. Наиболее просто его результаты выглядят случае интерполирования периодических функций тригонометрическими многочленами (см. п. 2. 2). в *) Такой многочлен Q (x) n всегда существует.