* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

120 ГЛ. И. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [2.4 Т е о р е м а 4. Пусть f(x) ? С [a, b], D — некоторое подмножество отрезка [а, Ь )ъ = sup Х (лг), и пусть п л я —• оо * lim [х„&р if) = 0, тогда последовательность интерполяционных многочлеинтерполирующих функцию нов Лагранжа Р (х) ? f(x) в узлах (2.16), равномерно на множестве D сходится к функции f(x). С л е д с т в и е . Пусть функция f(x)? С[а> Ь] и п lim A„?m (f) = °> t тогда последовательность интерполяционных многочленов функцию f(x) Лагранжа Р (х) ? $„_i, интерполирующих в узлах (2.16), равномерно сходится на отрезке [а, Ь] к функции f{x). Таким образом, грубо говоря, чем медленнее рост величин „{х) (соответственно Х ), тем шире класс функций, для которых имеет место сходимость интерполяционного процесса. Рост величин Х оценивается следующим образом: при любом выборе узлов интерполяции (2.16) имеет место неравенство (С. Н. Бернштейн — Г. Фабер) п л д In 8 У п & С другой стороны, если в случае отрезка [— 1, 1] за узлы интерполяции взять узлы Чебышева (см. п. 2.1) x = cos ft 1 те, k — 0 1, y я—1, (2.19) то (Бернштейн С. Н.) X < 8 + — In л, n п=у 2, . . . Эти два неравенства показывают, что если в качестве узлов интерполяции выбрать узлы Чебышева, то мы получим наименьший порядок роста величины Х . Используя результаты теории наилучших приближений функций (см. § 3), из сформулированных выше результатов д