* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

2.41 § 2. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 121 можно получить различные критерии сходимости интерполяционных процессов. Предварительно напомним еще одно важное понятие. Для всякой функции f(x), определенной на некотором множестве Е, функция со(8; / ) = р (* sup ") =S S [ / ( J O — / С * & ) ! х ? Е, х" ? 9 ?*), определенная для любого 8^=0, называется модулем непрерывности функции f(x). Т е о р е м а 5. Пусть функция f(x) определена на отрезке [— 1, 1] и удовлетворяет условию lim s—о /)1п8 = 0 Дини—Липшица); тогда последовательность интерполяционных многочленов интерполирующих функцию f{x) Лагранжа Р (х) ?ty _ в узлах Чебышева (2.19), равномерно сходится на отрезке [ — 1 , 1] к функции f(x). п n h (это условие обычно называется условием абсолютно непрерывна на отрезке [— 1, 1]. Тогда последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа ^ n W G ^ n - i & интерполирующих функцию f(x) в узлах Чебышева (2.19), равномерно сходится на отрезке [— 1, 1] к функции f(x). Т е о р е м а 7 (В. И. К р ы л о в ) . Пусть функция f(x) на отрезке [ — 1 , 1] определена и имеет ограниченную вариацию. Тогда последовательность интерполяционных интерполирующих многочленов Лагранжа P (x)?ty _i, функцию f{x) в узлах Чебышева (2.19), в каждой точке n n Теоремы, подобные сформулированным, имеют место и в случае интерполирования тригонометрическими многочлегами; соответствующие результаты можно найти, например, в [11]. Отметим еще две близкие по характеру теоремы. Т е о р е м а б (В. И. К р ы л о в ) . Пусть функция f(x) *) Символом р (лг&, х") обозначается расстояние между точками х& и х& тем самым данное определение модуля непрерывности имеет смысл в случае, когда Е является метрическим пространством.