* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

2.1] § 2. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 111 разностей (х, / ) функции /(лг) с шагом п. Пусть h — некоторое фиксированное число; тогда по определению Д?> (х, /)=/(*), JH-1 Д<Н-»(*, Л = Д ( * AJ*>(*, / ) ) = j ( - 1 ) * 4 / + , С| /(д;+уй). + 1 Последняя формула проверяется по индукции. Отметим, что и, обратно, значения функции f(x) в точках х -- kh (k — О, 1 , . . . , п) выражаются как линейные комбинации последовательных конечных разностей в начальной точке х: и /(х + Щ^^]С1^(х,/) } Л = 0, 1, я. Пусть теперь на отрезке [а, Ь] выбраны равноотстоящие узлы интерполяции: x = a + (k— 1)«, k k=l, я + 1 , h= ^ ~ . Тогда интерполяционный многочлен Р(лг), удовлетворяющий условиям (2.2) (при т = п), может быть с помощью разностей записан в виде p (jc)== 2 Л (x-a)(x-a-h) ... [ —a-(k-l)h]^ x ^ Интерполяционный многочлен, записанный в виде (2.6), называется интерполяционным многочленом Ньютона. В случае равноотстоящих узлов интерполяции интерполяционный многочлен Ньютона оказывается обычно более удобным для вычислений, чем интерполяционный многочлен Лагранжа. Это связано, в частности, с тем, что если добавляется один узел интерполяции при сохранении прежних (тем самым увеличивается на h и отрезок, на котором производится интерполирование), а степень интерполирующего многочлена увеличивается на единицу, то в формуле (2.6) добавляется просто одно слагаемое, тогда как интерполяционный многочлен Лагранжа в этом случае надо весь пересчитывать заново.