* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПО ГЛ. П. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ [2.1 Из этой формулы видно, что если мы хотим уменьшить погрешность при рассматриваемом интерполировании, то для этого достаточно так выбрать узлы интерполяции х ,,., х на отрезке [а, Ь чтобы величина max |«>(х)| уменьшилась. ъ п+1 Отметим, что в случае а = — 1 , Ь = многочлены о» (л*), для которых max достигают наименьшего значения, на¬ Чебышева (см. зываются многочленами могут быть записаны в следующем виде: Т + (х) — п п. 3.4); они cos (п -~ 1) arccos х, п = 0, 1, 2, . . . *). n Отметим, что корни многочлена Чебышева T (k) лежат в интервале (— 1, 1) и задаются формулой *fe,n = C Q s ( 2 f e простые, ^ 1 ) T C » ? = 1 , 2 , . . . , я; /1=1,2,... ktU k + i > n При этом между двумя соседними корнями x и x многочлена Т {х) находится один и только один корень многоп=, 2, члена Т _ (х), Этим объясняется тот факт, что при интерполировании на отрезке [— 1, 1] в качестве узлов интерполяции оказывается выгодным брать точки x , т. е. нули многочлена Чебы(х), так как при этом ш (х) = Т (х). В случае шева Т произвольного отрезка [а, Ь] с той же точки зрения выгодно брать в качестве узлов интерполяции точки, которые получаются из нулей соответствующего многочлена Чебышева при подобном отображении отрезка [— 1, + 1 ] на отрезок [а, Ъ (см. об интерполяции с узлами Чебышева также в п. 2.4). Более подробно о многочленах Чебышева см. СМБ, Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби), гл. X, § 15. Укажем теперь другой вид записи интерполяционного многочлена Лагранжа Р(х) для частного случая равноотстоящих п п х kn п+1 п узлов, т. е. когда л*/ — х^ x = a, x i n+i х = Ь ~~ а , ?=2, 3, ,.. , п--, = Ъ. Для этого предварительно напомним понятие *) Следует иметь в виду, что часто многочленами Чебышева называют также многочлены Т {х) = cos п arccos х, /1 = 1, 2, ... п