* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

2.1] § 2. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 109 при условии, что Р(х) (5 Щ> должно быть не меньше, чем уменьшенное на единицу число узлов интерполяции, т. е. должно быть п^т. Указанный метод позволяет, очевидно, не только доказать существование (и единственность в случае т — п) интерполяционного многочлена, но и фактически найти его; для этого достаточно решить систему (2.4). Обозначим через Р(х) интерполяционный многочлен, удовлетворяющий системе уравнений (2.2). Можно показать (например, решая систему (2.4)), что при п==т этот мномногочлен, называемый в этом случае интерполяционным гочленом Лагранжа, может быть записан в виде л Р(х) __ у Zd/ f = ( к x k ) Ax~x )(x — x ) ...(x—x _i)(x (x —x )(x —x )...(x —x _ )(x —x ) l fS k k l k Si k k 1 k k+i — x+) k x ... (л: — лг ) я+1 ...(x k —* ) n+1 • (2.5) Впрочем, то, что написанное выражение является многочленом степени не выше п и удовлетворяет условиям (2.2), легко проверяется непосредственно. Пусть теперь у. функции f(x) на отрезке [а, Ъ существуют производные до порядка п --1 включительно, тогда существуег точка I ? (а, Ь) такая, что / (х) = Р(х) + 2 у (х — х ) (х г х%)... {х ЛГ ), д+1 где Р(х) — интерполяционный многочлен (2.5). Полагая для краткости (o(x) = (x — x )(x l — x) i ... (х — x r t + 1 ), Ж Г(а, Ь)= я+ sup | / » " > (х)I. имеем оценку для погрешности при интерполировании функции / по формуле (2.5):