* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

2.1] § 2. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 1.07 x ? j (я, b) п производных {п — фиксированное натуральное число). Требуется найти многочлен Р(х) степени не выше п, который вместе со своими производными до порядка п включительно в точке XQ совпадал бы с соответствующими значениями функции f{x) и ее производных: Q ^ (*o)=/ f t ) ( f t ) (*o), Л = 0, 1, л*). (1.1) Таким образом, в этом конкретном случае класс © состоит из всех многочленов степени не выше я, а то общее, что имеют функции класса (5) с данной функцией f(x), выражается формулами (1.1). Как хорошо известно, такой многочлен Р(х) всегда существует, единствен и образует главную часть формулы Тейлора порядка п в точке x т. е. Qt Р(х) = / ( Х ) + ^ 0 (X - АГ )+ . . . 0 (х - х ) . п 0 (1.2) Отметим также, что многочлен (1.2) дает решение еще одной важной задачи. Именно, среди всех многочленов степени не выше п он наилучшим образом приближает заданную функцию f(x) при х, стремящемся к х . Более подробно и точно это означает следующее: с одной стороны, для многочлена Р(х задаваемого формулой (1.2), имеет место равенство 9 f(x) — Р(х) = о ((лг — х,П При X—+XQ, (1.3) а с другой стороны, не существует многочлена степени не выше я, отличного от многочлена (1.2), который обладал бы свойством (1.3). § 2. Интерполирование функций многочленами 2.1. Простейшая интерполяционная задача. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Пусть на отрезке [а, Ь] задана действительная функция f(x) и фиксирот--\ ваны т-~ значений аргумента x , i = l , 2, . . . , /га, t Х f