* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

9.3] § 9. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 99 норме или сильной Эту сходимость часто сходимостью. называют также сходимостью по Здесь мы рассмотрим только некоторые примеры функциональных пространств, элементами которых являются функции тех или иных классов с различным образом введенным расстоянием между ними. Ограничимся рассмотрением пространств действительных функций одной действительной переменной. 2. Множество всех непрерывных функций, определенных на некотором отрезке, является линейным пространством. Расстояние между элементами х и у (функциями л : ^ ) и y(t)) этого пространства определяется равенством ( , у) = = max I х (t) — v (fi I. Нулевым элементом СЛУЖИТ злесь функция, тождественно равная нулю на отрезке, поэтому норму можно определить как ||х ||с == max | х (t) . Пространство непрерывных функций с определенной выше метрикой и нормой называют пространством С. Если хотят подчеркнуть, что речь идет о функциях, определенных и непрерывных на отрезке [a, Ь], то пишут С[ , ьу При изучении тригонометрических рядов Фурье приходится иметь дело с пространством непрерывных периодических функций, которое обозначают СР[о, 2%) или СР[о, i> в зависимости от отрезка определения и периода. Сходимость по норме в пространстве С последовательности {х } к элементу х означает стремление к нулю расстояния х — х | | = max | х (t) — х {t) . Таким образом, сильа п 0 п п ная сходимость в пространстве равномерную сходимость. С означает обычную 3. Множество всех непрерывных функций, имеющих непрерывные производные до порядка k(k^l) включительно, является линейным нормированным пространством -С^щ, если расстояние между элементами x(t) и у (t) определить равенством При этом k x\ k> = & max 2 |* ( , ) W 4*