* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

98 ГЛ. L ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [9.1 условие часто называют неравенством треугольника или аксиомой треугольника. Как и для я-мерных эвклидовых пространств, для метрического пространства можно легко определить основные понятия, рассмотренные в § 1. Шаром радиуса г с центром в точке х метрического пространства Е называют множество элементов у ?Е, удовлетворяющих условию р (х, у) < ^ г, е-окрестностью точки х — шар радиуса е с центром в х. После этого легко определятся понятия изолированной и предельной точки, а также замкнутого и открытого множества. Говорят, что последовательность {х } сходится к точке х , если lim р (х„, лг ) = 0. п ь 0 л -* оо Последовательность х ) называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши, т. е. если для любого е ^> 0 найдется такое целое число Л/, что р (х , х ) < ^ е при n^N, m^N. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Если в метрическом пространстве всякая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным. Множество элементов любой природы называют линейным пространством, если для его элементов определены операции сложения и умножения на действительные числа, удовлетворяющие обычным естественным условиям *). Линейное пространство называют нормированным, если каждому элементу х?Е ставится в соответствие действительное число \xl норма х, которая удовлетворяет следующим требованиям: а) I х J ;>= 0; | х I = 0 тогда и только тогда, когда х — нулевой элемент Е; б) br||==|X|.||jd|; в) ^ х 1 + \у\. Нормированное пространство можно сделать метрическим, введя расстояние между элементами х и у как норму их Пользуясь этим замечанием, разности, р(х, у) = х—у. можно все определения, сформулированные в терминах метрики, формулировать также в терминах нормы. Например, \х —x \ последовательность {х сходится к XQ, если п п т х + у п п Q *) То есть условиям ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности по отношению друг к другу.