* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

94 ГЛ. I . ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО [8.5 связно, то оно представляется в виде суммы конечного или бесконечного множества связных замкнутых слагаемых, назыэтого множества. ваемых компонентами Обозначим через J(t) число компонент множества уровня E . Тогда Jit) измерима. Интеграл t оо V(/)= — AW называют линейной вариацией функции f(x, у). Если V ( / ) конечна, то функцию f(x, у) называют функцией с ограниченной линейной вариацией *). Далее, Vi(E ) означает длину по Хаусдорфу множества уровня Е{. Эта функция также измерима. Поэтому имеет смысл интеграл t оо W(/)= 5 — оо b(E )dt, t который называется плоской вариацией функции f(x, у). Функция f(x, у), для которой W ( / ) конечна, называется функцией с ограниченной плоской вариацией. Роль плоской и линейной вариаций для функции двух переменных выясняется следующими т е о р е м а м и А. С. К р о н р о д а: а) если непрерывная на S функция f{x, у) имеет ограниченную плоскую вариацию, то у нее почти всюду на S существует асимптотический дифференциал; б) если непрерывная на S функция f{x, у) имеет ограниченные плоскую и линейную вариации, то она обладает точным полным дифференциалом почти всюду на S. б. Для функции п переменных можно определить интеграл Лебега с помощью точно такого же процесса, как и для функции одной переменной. *) Если рассматривать непрерывные на [а, Ь] функции одного переменного f{x), а через J{t) обозначать число компонент множе+ со ства E ~E t {f(x) = t}, то J 5 ( 0 ^ = V / - Это равенство и этот подход к изучению непрерывных функций с ограниченным изменением были найдены С. Банахом. — оо